Warum muss der Eigenzustand eines Operators einem Teilchen entsprechen?
Ich habe identische Teilchen in der Quantenmechanik untersucht, als ich auf die Vorstellung stieß, dass der "Austauschoperator" auf eine Zwei-Teilchen-Wellenfunktion einwirkt. $\psi_(x_1, x_2)$in einer Dimension: $$ P_{12}\,\psi(x_1, x_2) = \psi(x_2, x_1)$$ So wie ich das verstehe $P_{12}$tut ist die Position der beiden Partikel zu wechseln. Ich habe dann über die beiden Eigenzustände dieses Operators gelesen, die "symmetrisch" und "antisymmetrisch" sind und Bosonen bzw. Fermionen entsprechen:$$\psi_S(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\psi(x_1, x_2) + \psi(x_2, x_1) \right) \to \text{Bosons};$$
$$\psi_A(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\psi(x_1, x_2) - \psi(x_2, x_1) \right) \to \text{Fermions}.$$
Meine Frage ist, was ist das Besondere an den Eigenzuständen dieses Operators und warum entsprechen sie Teilchen?
Ich bin auf diese Operator-Partikel-Idee auch in anderen Bereichen gestoßen. In der Teilchenphysik werden bestimmte Teilchen beispielsweise durch den Ladungskonjugationsoperator beschrieben , der die Ladungen von Teilchen umkehrt. Die symmetrischen und antisymmetrischen Eigenfunktionen des Ladungskonjugationsoperators entsprechen zwei verschiedenen Arten von Teilchen, ähnlich wie im Fall von Bosonen und Fermionen.
Ich nehme an, ich kann meine Frage darauf verallgemeinern: Bedeutet die Existenz eines Eigenzustands die Existenz eines Teilchens und / oder umgekehrt? Wenn ja, warum - was ist besonders an Eigenzuständen so besonders? Was ist mit anderen Staaten? Warum nur die Eigenzustände bestimmter Operatoren? Vielen Dank für Ihre Zeit.
Antworten
Eigentlich muss es nicht aus mathematischer Sicht sein, aber das kommt nur in $3$oder mehr Partikel. Betrachten wir den Fall von$3$ Partikel, wie es ausreicht, um den Punkt zu veranschaulichen.
Für Permutationsgruppe $S_3$ Es gibt eine zweidimensionale Darstellung, dh es gibt Zustände $\psi(x_1,x_2,x_3)$ und $\phi(x_1,x_2,x_3)$ für welche $P_{ij}\psi(x_1,x_2,x_3)\ne \lambda \psi(x_1,x_2,x_3)$dh der Permutationsoperator, der auf einen Zustand einwirkt, gibt nicht notwendigerweise ein Vielfaches dieses Zustands zurück. Die Bedingung$P_{ij}^2=\mathbb{I}$ ist für diese zweidimensionale Darstellung immer noch zufrieden, auch wenn $P_{ij}\psi(x_1,x_2,x_3)$ ergibt im Allgemeinen eine Kombination der $\psi(x_1,x_2,x_3)$ und $\phi(x_1,x_2,x_3)$Zustände. In der (kanonischen) Yamanouchi-Basis zum Beispiel\begin{align} P_{23}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1&\sqrt{3}\\ \sqrt{3}&1\end{pmatrix} \end{align} ist eindeutig nicht diagonal, befriedigt aber $(P_{23})^2=\mathbb{I}$.
Kaplan in
Kaplan, IG, 2013. Das Pauli-Ausschlussprinzip. Kann es bewiesen werden? Foundations of Physics, 43 (10), S. 1233-1251.
argumentiert, dass man, wenn man solche mehrdimensionalen Darstellungen zulässt, einen Irrtum erhält, der auf der Idee beruht, dass "das physikalische Bild, in dem das Hinzufügen eines Partikels die Eigenschaften aller Partikel ändert, nicht einem System unabhängiger identischer Partikel entsprechen kann". In der Tat der gleiche Autor in
Kaplan, IG, 1975. Das Ausschlussprinzip und die Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen in der Quantenmechanik. Sowjetische Physik Uspekhi, 18 (12), S.988.
zeigt, dass der Mittelwert des Einteilchenoperators $\hat f (x_j)$ hängt von der Partikelnummerierung ab, wenn mehrdimensionale Darstellungen von $S_n$sind erlaubt. Im Beispiel dieses Papiers werden Durchschnittswerte von$\hat f(x_3)$ sind nicht identisch mit denen von $\hat f(x_2)$ oder $\hat f(x_1)$.
Das Besondere an den eindimensionalen Darstellungen, dh den symmetrischen und antisymmetrischen Darstellungen, ist genau, dass alle diese Durchschnittswerte unabhängig von der Partikelmarkierung sind.
Der Vollständigkeit halber ist der Fall von 2 Partikeln besonders, da die irreduziblen Darstellungen von $S_2$sind beide eindimensional, und tatsächlich sind genau die symmetrischen und die antisymmetrischen Darstellungen und sonst nichts. Nur für 3 oder mehr Partikel kann man mehrdimensionale Darstellungen haben.
Es gibt also keinen Grund zu der Annahme, dass Zustände allein aufgrund der Permutationssymmetrie Eigenzustände eines Austauschoperators sein müssen. Es scheint, dass man zusätzliche physikalisch relevante Bedingungen benötigen muss, um Zustände auszuschließen, die KEINE Eigenzustände sind.
Wenn Sie den Magen für etwas fortgeschrittenere Mathematik haben, gibt es auch eine Diskussion der Permutationssymmetrieanforderungen in
Hudson, RL und Moody, GR, 1976. Lokal normale symmetrische Zustände und ein Analogon des Satzes von de Finetti. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und religiöse Gebiete, 33 (4), S. 343-351.
Meine Frage ist, was ist das Besondere an den Eigenzuständen dieses Operators und warum entsprechen sie Partikeln?
Wenn im QM identische Partikel nicht zu unterscheiden sind, muss der Quantenzustand, der die Partikel beschreibt, unter Partikelaustausch gleich bleiben. Da das Multiplizieren eines Zustandsvektors mit einer Konstanten den tatsächlichen Zustand nicht ändert, entspricht dies dem Erfordernis, dass unsere Mehrteilchenzustände Eigenzustände des Austauschoperators sind.
Über den letzten Teil der Frage bin ich mir nicht sicher, was Sie meinen. Wovon würden wir sonst Quantensysteme beschreiben? Unsere Quantenstarts beschreiben Zustände von Teilchen, und daher müssen unsere Theorien mit dem übereinstimmen, was wir über diese Teilchen wissen und wie sie sich verhalten.