Warum sind endliche Rangoperatoren Hilbert Schmidt?

Question

Lassen $H_1,H_2$ seien Sie zwei Hilbert Spaces und $T:H_1 \to H_2$ ein linearer Operator mit endlichem Rang, das heißt $dim[T(H_1)]=m<+\infty$.

Das muss ich zeigen $T$ ist ein Hilbert-Schmidt-Operator, dh auf Hilbert-Basis $\{e_\alpha\}_{\alpha \in J}$ $$\|T\|^2_{HS} = \sum_{\alpha \in J}\|T(e_\alpha)\|^2<\infty.$$

Nun als $T$ hat einen endlichen Rang, es gibt eine ortogonale Basis $\{y_1,...,y_m\}\subset H_2$ von $T(H_1)$ so dass $$T(x) = \sum_{i=1}^m a_i(x)y_i$$

Damit haben wir

$$\|T\|^2_{HS} \leq \sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 \|y_i\|^2 =\sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 $$

Aber warum sollte das endlich sein?

---

Anscheinend scheinen alle nur in dem Kontext über Hilbert-Schmidt-Operatoren zu sprechen, in dem $T:H \to H$. In diesem Fall ist es einfach, die Behauptung zu zeigen, da wir eine ortonormale Basis nehmen können$\{e_\alpha\}_{\alpha \in J}$ und wie $T$ hat endlichen Rang, gibt es $I \subset J$ endlich mit $T(e_\alpha) = 0 \; \forall \alpha \in J\setminus I$ und die Reihe der Hilbert-Schmidt-Norm ist tatsächlich eine endliche Summe.

Das Problem ist genau, dass wir unterschiedliche Räume haben $H_1$ und $H_2$. Kann ich mich irgendwie trennen?$H_1 = A \bigoplus B$ damit $T(B) = 0$ und $dim(A)<\infty$? Das würde das Problem lösen.

Answer 1

Der Ausdruck $$ \sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 $$ ist (normalerweise) nicht endlich, weil Sie eine unendliche Summe über etwas haben, das nicht davon abhängt $\alpha$. Also wenn$|a_i(x)|\neq0$ für einige $i$ und $x$dann ist der Ausdruck unendlich.

Hinweis für die allgemeine Lösung:

Zerlegen Sie den Operator $T$ in endlich viele Betreiber $T_i:H_1\to\Bbb C$. Dann können Sie darstellen$T_i$ von einigen $y_i\in H_1$. Zeige, dass$T_i$ wird von Hilbert-Schmidt verwendet $y_i$.

Dies sollte zu einem Ausdruck des Formulars führen $$ \sum_{\alpha\in J} |(y_i,e_\alpha)|^2, $$ (wo $\{e_\alpha\}_{\alpha\in J}$ ist eine Hilbert-Basis), die als endlich gezeigt werden kann.