Was ist der Schnittpunkt einer einzelnen Menge?

Question

Ich lese gerade einige Fragen zur Satztheorie für einen Statistikkurs durch und bin auf die folgende Notation gestoßen, die ich noch nie gesehen habe, und ich kann anscheinend nirgendwo anders online finden. Die fragliche Gleichung lautet:$$ \mathcal{B} = \cap\{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}\} $$Meine Frage ist, was bedeutet das Schnittpunktsymbol vor der Set Builder-Notation? Wie kann ich den Schnittpunkt nur eines Satzes nehmen? Ich würde meinen Professor fragen, aber sie haben heute keine Bürozeiten und ich möchte lieber nicht zu lange auf eine scheinbar einfache Frage warten.

Answer 1

Die Notation $\cap A$ bezeichnet normalerweise den Schnittpunkt aller Mengen, die in enthalten sind $A$, obwohl nicht jeder diese Notation verwendet. Unter Verwendung des allgemeineren Begriffs eines Schnittpunkts über einem Indexsatz bedeutet dies, dass

$$ \cap A = \bigcap_{B\in A} B $$ hält, und das $A$ ist eine Menge von Mengen.

In Ihrem Fall bedeutet dies $$ \mathcal{B} = \cap\{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}\} = \bigcap_{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}} \mathcal{E} $$