Wellengleichung PDE

Question

Lösen Sie das anfängliche Randwertproblem

\ begin {eqnarray} u_ {tt} & = & u_ {xx} + u_t ~~ \ mbox {in} ~~ (0, \ ell) \ times (0, \ infty), \\ u (0, t) & = & u (\ ell, t) ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ infty), \\ u (x, 0) & = & \ sin x, ~ u_t (x, 0) = \ cos x ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ ell). \ end {eqnarray}

Mein Versuch:

Ich habe die Trennung von Variablen direkt angewendet. Ich konnte die Transformation nicht abrufen, damit sie konvertiert werden kann $$w_{tt} = w_{xx}$$und ich löste Zeit zweiten Grades ODE unter Verwendung der charakteristischen Gleichung. Ich habe Randbedingungen verwendet, aber wenn ich versuche, intital zu implementieren, bin ich mir nicht sicher, wie ich die letzte Bedingung implementieren soll.

Mein Formular bisher nach der Anwendung von BCs: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(n\pi x/l)[c_1 e^{\frac t2(1+\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})} + c_2 e^{\frac t2(1-\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})}]$$

Answer 1

Soweit hast du

$$ u(x, t) = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\left[ A_n e^{\lambda_+ t} + B_n e^{\lambda_- t} \right] \tag{1} $$

wo

$$ \lambda_\pm = \frac{1}{2}\left[1 \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2n\pi}{l}\right)^2}\right] $$

Betrachten Sie nun die Anfangsbedingungen

$u(x, 0)$

Wenn Sie das in (1) ersetzen, erhalten Sie

$$ \sin x = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) [A_n + B_n] $$

und von hier

\ begin {eqnarray} \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \ sin x & = & \ sum_n [A_n + B_n] \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {n \ pi x} {l} \ right) \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \\ & = & \ sum_ {n} [A_n + B_n] \ left (\ frac {l} {2} \ delta_ {mn} \ right) \\ & = & \ frac {l} {2} (A_m + B_m) \ \ & = & \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ cos (m \ pi) \ sin l \\ & = & (-1) ^ m \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ sin l \ end {eqnarray}

Also zusammenfassend

$$ A_m + B_m = (-1)^m\frac{2 m \pi}{l^2 - m^2\pi^2} \sin l \tag{2} $$

$u_t(x, 0)$

Ich werde dir das überlassen, du solltest so etwas bekommen

$$ \lambda_+ A_m + \lambda_- B_m = \cdots \tag{3} $$

Die Gleichungen (2) und (3) können gelöst werden, um zu finden $A_n$ und $B_n$