Wenn $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$, ist auch $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$?

Question

Lassen $(E_1,\mathcal E_1)$ und $(E_2,\mathcal E_2)$seien zwei messbare Räume. Lassen$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$. Lassen$\mathbb P$ eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(E,\mathcal E)$. Definieren Sie die Randverteilungen$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ und $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$und bezeichnen schließlich die Produktverteilung mit $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$. Nehmen wir schließlich an, dass wir es wissen\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} Meine Frage ist, ob es das auch hält \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

Insbesondere wenn es falsch ist, hoffe ich, ein Gegenbeispiel zu sehen, und ich wäre auch interessiert zu wissen, ob es in dem Fall wahr ist $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ für einige Funktionen $g$ und $h$.

Answer 1

Es ist im Allgemeinen nicht wahr.

Lassen $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$, und lass $\mu$ sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb{R}$ohne ersten Moment (zB Cauchy-Verteilung). Lassen$\mathbb{P}$ sei das gemeinsame Gesetz von $(X, X)$ wo $X \sim \mu$. Zum Schluss lassen$f(x,y) = x-y$. Unter$\mathbb{P}$, wir haben $Y=X$ als und deshalb $f(X,Y)=0$ wie so $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$. Aber unter$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$, wir haben $X,Y$ sind iid $\mu$und daraus folgt $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$. Um dies zu sehen, schreiben Sie mit Tonellis Theorem$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ wo der Integrand identisch ist $+\infty$mit $|X-y| \ge |X|-|y|$.

Es ist nicht einmal wahr für $f(x,y) = g(x) h(y)$. Lassen$W$ eine Zufallsvariable mit unendlichem ersten Moment sein, und $Z$ eine Bernoulli (1/2) Zufallsvariable unabhängig von $W$. Lassen$\mathbb{P}$ sei das gemeinsame Gesetz von $(WZ, W(1-Z))$und setzen $f(x,y) = xy$, die von der Form ist $g(x) h(y)$. Dann$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ weil $Z(1-Z)=0$ als aber $WZ, W(1-Z)$ sind identisch verteilt, so haben wir $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$