Wie benutzt man eigentlich Felder?
Hinweis: Ich verwende hier wahrscheinlich die falschen Buchstaben / Notation. Ich entschuldige mich. ich benutze$\omega$ ein Objekt darstellen, und $\mathcal{U}$ist das Universum. Ich bin mir nicht sicher, wie ich es sonst machen soll.$m(\omega)$ und $x(\omega)$ sind die Masse und Position des Objekts.
Ich bin auf eine Straßensperre in meinem Verständnis von Feldern gestoßen. Es scheint mir nämlich, als ob es ein kleines Problem mit ihnen gibt.
Nehmen wir zum Beispiel das Gravitationsfeld $\mathbf{G}$. Zu jedem Zeitpunkt$x$multiplizieren (in $\mathrm{N} \over \mathrm{kg}$) durch die Masse eines Objekts ergibt sich die Kraft, die dieses Objekt an diesem Punkt erfahren würde ($F = \mathbf{G}_{x(\omega)} \cdot m(\omega)$). Schon seit$\mathbf{G}_{x} = \sum_{\omega \in \mathcal{U}}G {m(\omega) \over {\left| x - x(\omega) \right|}^{2}}$, der Wert an einem beliebigen Punkt, der von einem Objekt belegt wird $\omega_{1}$ist aufgrund der Division durch Null undefiniert. Aber die Kraft erfahren von$\omega_{1}$ sollte sein $m(\omega_{1}) \cdot \mathbf{G}_{x(\omega_{1})}$!
Die Annahme nicht punktförmiger Objekte löst dies natürlich auf. Größere Objekte bestehen jedoch aus punktförmigen Objekten. Es sei denn, Sie möchten hier die Quantenmechanik verwenden, aber AFAIK gibt es noch keine Quantentheorie der Schwerkraft (?).
Für das Beispiel der Schwerkraft wird dies jedoch wahrscheinlich durch die allgemeine Relativitätstheorie gelöst.
Dieses Problem scheint jedoch im Allgemeinen ein Problem für Felder zu sein, die unbegrenzt zunehmen, wenn der Abstand zu einem Objekt kleiner wird. Natürlich könnte man einfach sagen "Das Feld für jedes Objekt wird nur von den anderen Objekten definiert", aber warum dann überhaupt das Feld? Warum nicht einfach sagen, dass die Kraft auf ein Objekt so definiert ist? Das Definieren eines Feldes, insbesondere eines Feldes, dessen Werte an anderer Stelle als tatsächlich vorhanden sind, erscheint unnötig. Zumal Sie mehrere Felder / ein hyperdimensionales Feld benötigen würden.
Wie wird das gelöst?
Antworten
Punktmassen und Punktladungen sind von Natur aus singuläre Objekte, genau aus dem von Ihnen angegebenen Grund. Sie sind äußerst nützliche Werkzeuge für Modellierungszwecke, und genau so sollten Sie sie sich vorstellen.
In einem klassischen feldtheoretischen Kontext ist der richtige Weg, sie zu verstehen, im einschränkenden Sinne. Um genau zu definieren, wie sich eine Punktmasse verhält, können Sie sie beispielsweise durch eine durchgehende Kugel mit Volumen ersetzen$V$ und konstante Massendichte $\rho = M/V$und nehmen Sie dann das Limit als $V\rightarrow 0$ während Sie halten $M$ Konstante.
Dieser Begrenzungsprozess führt häufig zu großen Vereinfachungen. Beispielsweise erfährt eine kontinuierliche Kugel in einem ungleichmäßigen Gravitationsfeld Gezeitenkräfte und elastische Verformungen. In der Grenze als$V\rightarrow 0$Diese Komplikationen verschwinden und die Gravitationskraft auf den Ball konvergiert gegen einen schönen Durchschnittswert. Darüber hinaus erfahren erweiterte Objekte Drehmomente um ihre Zentren, sodass Sie auch die Rotationsbewegung berücksichtigen müssen. Wenn wir die Grenze nehmen und nur Punktmassen berücksichtigen, kann dieser Rotationsfreiheitsgrad ebenfalls ignoriert werden.
Auf der anderen Seite, wenn wir die falschen Fragen dann dieses Begrenzungs - Verfahren stellen nicht nicht gibt uns sinnvolle Antworten. Wenn wir nach dem Gravitationsfeld an der Oberfläche unserer kontinuierlichen Kugel fragen, erhalten wir eine vollkommen endliche Antwort, aber im Grenzfall als$V\rightarrow 0$ Diese Menge divergiert.
Feldtheorien wie die Newtonsche Schwerkraft, GR und Elektromagnetismus verhalten sich nur dann wirklich gut, wenn die Quellen dieser Felder (Masse, Energie / Impuls und Ladung / Strom) als kontinuierliche Verteilungen behandelt werden. Sobald Punktquellen eingeführt werden, müssen wir vorsichtig sein mit den Fragen, die wir stellen, oder wir riskieren, auf falsche Unendlichkeiten zu stoßen, die letztendlich entstehen, weil wir eine schlecht definierte Grenze nehmen, ohne es zu merken.
Das Definieren eines Feldes, insbesondere eines Feldes, dessen Werte an anderer Stelle als tatsächlich vorhanden sind, erscheint unnötig.
Es stellt sich heraus, dass diese Felder tatsächlich Energie und Impuls durch den leeren Raum zwischen Objekten transportieren. Sie sind daher durchaus notwendig, es sei denn, Sie werden nicht durch Energie und Impuls gestört, die aus einer Region verschwinden und zu einem späteren Zeitpunkt in einer anderen Region wieder auftauchen.
Darüber hinaus ist die Beobachtung kleiner Partikel, die auf einen unsichtbaren Einfluss im scheinbar leeren Raum reagieren, ein überzeugendes Argument für die Übernahme des Feldstandpunkts.
Eine Masse $M$schafft überall ein Feld außer einem Punkt: dem Ort, an dem es ist. Wenn nur ein Punkt versagt, denke ich nicht, dass es dramatisch genug ist, um all die wunderbaren Phänomene zu zerstören, die durch Felder perfekt erklärt werden können.