Wie man eine Sequenz beweist, ist begrenzt

Question

Für eine Sequenz $\{x_n\}_{n\ge 1}$, lass eine Sequenz $\{y_n\}_{n\ge 1}$ durch die Formel definiert werden $$y_n = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n \ \forall n\in \Bbb{N}$$

Beweisen Sie das, wenn die Reihenfolge $\{x_n\}_{n\ge 1}$ ist begrenzt, dann ist es auch $\{y_n\}_{n\ge 1}$. (Denken Sie daran, dass eine Sequenz$\{x_n\}_{n\ge 1}$ ist begrenzt, wenn eine positive reelle Zahl existiert $M$ so dass $|x_n| < M$ $\forall n\in \Bbb{N}$ )

Answer 1

weil $\forall i \in \mathbb{N}, \ |x_i| < M$, dann $$\left|\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n\right| \leqslant\frac{|x_1| + |x_2| + \ldots + |x_n|}{n} \leqslant\frac{M+M+\cdots+M}{n}=\frac{Mn}{n}=M$$

Answer 2

Für jeden $n, x_n \in (-M,M)$, also der Durchschnitt des ersten $n$ Elemente von {$x_n$} wird auch in sein $(-M,M)$