Wie zu berechnen $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ von $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ und $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?

Question

Ich betrachte Beispiel 4.10 (aus Kapitel X) von Silvermans Buch "Die Arithmetik elliptischer Kurven", 2. Ausgabe, in dem es um den Abstieg über die Zwei-Isogenese geht (Satz 4.9). Das Beispiel handelt vom Rechnen$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ für die Kurve $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ Die Kurve, die ist $2$-isogen zu $E$ ist $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$

Wir haben die übliche Isogenese $\phi: E \to E'$ und duale Isogenese $\hat \phi : E' \to E$ mit $\hat \phi \circ \phi = 2$ (Die genauen Formeln sind in Satz 4.9 definiert).

Er berechnet das $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ und $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$

Ich möchte das berechnen $2$-Selmer-Gruppe $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$und soweit ich weiß, muss ich die beiden oben genannten Informationen irgendwie kombinieren (ähnlich wie Sie sie kombinieren können $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ und $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ zu bekommen $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Könnte jemand erklären, wie ich das machen kann?

PS: Ich fühle mich von diesem Buch im Allgemeinen ziemlich überwältigt. Wenn ich also alles falsch verstanden habe, lass es mich wissen.

Answer 1

In Ihrem Beispiel ist die offenbarende Information, die Sie benötigen, Bemerkung X.4.7 und die Tatsache, dass $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ Da die relevanten Tate-Shafarevich-Gruppen trivial sind, erfolgt die Identifizierung über "the $x$-Koordinate "(mit Ausnahme der beiden Torsionspunkte $(0,0)$).

Wir haben also die Bemerkung X.4.7, die das sagt $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ ist genau, der zweite Morphismus ist $\phi$.

Jetzt, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ und die Karte $\phi$ sendet $(0,0)$ zu $0$ (der Punkt im Unendlichen) (dies ist natürlich allgemein, da $\phi$ ist das Senden der 2-Isogenese $(0,0)$ zu $0$) und sendet $(8,-32)$ zu einem Element $\phi(8,-32)$nicht $2$-Torsion (die ich dir zur Berechnung überlassen habe).

So $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Jetzt können Sie die Beschreibung der Elemente von verwenden, die Sie mögen $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.

Bearbeiten : Im allgemeinen Fall gibt es eine natürliche exakte Reihenfolge$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ aber ich bin mir nicht sicher, was ich auf die linke Seite setzen soll.

Eine Möglichkeit, diese Reihenfolge zu verstehen, besteht darin, dies zu beobachten $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ ist die Gruppe der nicht verzweigten Galois-Bedeckungen von $E$ mit Galois Gruppe "$E[2]$"(und mit Punkten lokal überall), und die 2-Isogenese kommt von a $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: die Karte $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ entspricht der Karte "Fixierung durch die $\mathbb Z/2\mathbb Z$", wie in der üblichen Galois-Feldtheorie.

Die Karte $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ entspricht jeder unverzweigten Galois-Bedeckung $\psi:D\to E'$ von $E'$ mit Galois Gruppe $\mathbb Z/2\mathbb Z$ zu einer Galois-Abdeckung von $E$ über $\phi$dh $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.