Wo endet die Integration?

Question

Ich bin neu bei Integralen. Ich löse$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$aber ich bekomme eine falsche antwort:$$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Die richtige Antwort sollte lauten:$$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Hier ist mein vollständiger Versuch:$$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Können Sie mich korrigieren und mir eine Quelle nennen, aus der ich lernen kann?

Danke im Voraus!

Answer 1

Sie haben bis zum (und einschließlich) Schritt Recht:

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Sie wenden die Tatsache falsch an

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Beachten Sie, dass es sein muss${1+x^2}$- nicht ${1+ax^2}$. Stattdessen sollten Sie dann die Substitution vornehmen${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$bekommen

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Nach Bedarf.

Answer 2

Gegeben,$$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Wir wissen das,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

So,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$Hier,$a=1$und$u=\frac{x}{\sqrt3}$und$du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

dh,$dx={\sqrt3}du$

Unsere gewünschte Antwort lautet also:

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

Answer 3

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Setzen Sie unsere Substitution wieder in die integralen Ausbeuten ein

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Also bleiben wir jetzt bei

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Da dies ein unbestimmtes Integral ist, müssen wir unsere Antwort in Form von x schreiben. Rückblickend auf unsere Substitution und Neuanordnung für Theta kommen wir zu unserer endgültigen Antwort:

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

Answer 4

Dein Problem liegt in der endgültigen Gleichheit. Wenn$F(x)$ist ein Primitiv von$f(x)$, und wenn$c\ne0$, dann ein Primitiv von$f(cx)$wird sein$\frac1cF(cx)$. Also seit$\arctan(x)$ist ein Primitiv von$\frac1{1+x^2}$, ein Primitiv von$\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$wird sein$\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

Answer 5

Ersatz$x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$