Wo gehört im Zusammenhang mit DFT die Nyquist-Frequenzprobe zu einem doppelseitigen Frequenzspektrum (positive / negative Seite)?

Question

Wenn wir eine gerade Anzahl von Datenpunkten haben $N$Nach DFT in MATLAB hat die Ausgabe die folgende Reihenfolge:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

Für reale Signale entspricht der erste Ausgang $k$= 0, ist real und ebenso die Nyquist-Frequenz. Danach sind Zahlen komplexe Konjugate.

Wenn wir an einem einseitigen Spektrum interessiert sind, wird die Nyquist-Frequenz auf der positiven Seite angezeigt.

Wenn jedoch ein doppelseitiges Frequenzspektrum aufgezeichnet wird, setzen viele Autoren die Nyquist-Frequenz auf die negative Seite.

Einige Software wie OriginPro folgen dem Gegenteil. Gibt es einen grundsätzlich korrekten Weg oder ist es nur eine Konvention, dh

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

Alternative, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

wo $k$ ist der DFT-Indexvektor, mit dem die Frequenzachse als konstruiert wird

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

wo $\Delta t$ ist das Abtastintervall.

Viele Leute sagen, es sei nur eine Konvention und beide sind richtig. Vielen Dank.

Answer 1

Es ist Konvention, sie sind gleichwertig:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB und Numpy gehen $[-N/2, ..., N/2-1]$, was für analytische Darstellungen unglücklich ist (nur + Frequenzen). Beachten Sie auch, dass sein Wert im Vergleich zu anderen Behältern verdoppelt wird (jedoch nicht manuell; sie korrelieren auf diese Weise). In gewissem Sinne handelt es sich also sowohl um eine negative als auch um eine positive Frequenz, sodass die Energie erhalten bleibt:

Sie können die Präferenz einer Bibliothek anhand von fftshift Dokumenten erkennen :

Answer 2

Vorausgesetzt $x[n]$ ist real, was dazu führt $X[k]$wobei „hermiteschen symmetrischen“ ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

und wenn $N$ ist gerade, dann ist der Wert im DFT-Bin $X[\tfrac{N}{2}]$(Dies ist eine reelle Größe mit einem Imaginärteil von Null) sollte in zwei gleiche Hälften geteilt werden. Eine Hälfte sollte bei platziert werden$k=-\tfrac{N}{2}$ und die andere Hälfte platziert bei $k=+\tfrac{N}{2}$.

Diese vorherige Antwort befasst sich damit.