Zeige, dass$\angle BOC=\angle AOD$.

Question

Lassen$E$und$F$die Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten eines konvexen Vierecks sein$ABCD$. Die beiden Diagonalen treffen sich bei$P$. Lassen$O$der Fuß der Senkrechten sein$P$zu$EF$. Zeige, dass$\angle BOC=\angle AOD$.

Hier ist das Diagramm:

Ich habe definiert$X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $.

Nun haben wir nach einem bekannten Lemma$(Y,X;P,E)=-1$und durch Apollonius Lemma erhalten wir$PO$halbiert$\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Genauso wissen wir das$(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$halbiert$\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$.

Aber diese Winkelgleichungen führen mich nirgendwo hin. Kann jemand ein paar Tipps geben? Danke im Voraus !

Answer 1

Lassen Sie mich das Problem bitte kurz umformulieren

Ein Dreieck$\triangle ABC$und drei Cevianer$AD, BE, CF$die übereinstimmen$P$sind gegeben. Definieren$O:=EF\cap AD$und lass$H$sei die orthogonale Projektion von$O$auf zu$BC$. Beweise das$\angle EHA=\angle KHF$.

Lassen$L:=AH\cap EF$und$K:=HP\cap EF$. Das werden wir zunächst beweisen$\angle LHO=\angle OHK$, und dann das$\angle EHO=\angle OHF$. Beachten Sie, dass das Ergebnis aus diesen Beobachtungen folgt.

Beachten Sie für den ersten Teil, dass – wie bekannt ist –$$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$Seit$(J,O; K, L)$ist harmonisch u$\angle OHJ=90^\circ$, man folgert, dass tatsächlich$\angle LHO=\angle OHK$. Der andere Teil kann ähnlich bewiesen werden, da wir bereits haben$(J,O;F,E)=-1$.