Zeige, dass $e^{-|x|^\alpha}$ ist $\lambda^d$ integrierbar für jeden $\alpha>0$

Question

Die Übung soll zeigen, dass die Funktion $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ von $\mathbb{R}^d$ zu $\mathbb{R}$ ist ist $\lambda^d$ integrierbar für jeden $\alpha>0$, wo $\lambda^d$ bezeichnet Lebesgue-Maß auf $\mathbb{R}^d$. Als Hinweis verweisen wir auf eine frühere Übung, in der wir gezeigt haben, dass die gleiche Funktion aktiviert ist$\mathbb{R}$ ist $\lambda^1$ integrierbar.

Diese Frage verwendet Polarkoordinaten, aber in meinem Buch haben wir diese Technik noch nicht verwendet. Ich denke eher, wir müssen Tonellis Theorem verwenden, aber wie kann ich dann die Integrierbarkeit jedes einzelnen von beiden zeigen?$d$ Integrale vorbei $\mathbb{R}$?

Answer 1

Dies kann mit dem Satz von Fubini-Tonelli geschehen. Lassen$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ eine Funktion sein, die

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

für alle $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ und einige nicht negative Funktionen $g_i$. Dann lassen wir den Satz von Fubini-Tonelli das Integral von teilen$f$::

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

Jetzt reicht es aus, eine integrierbare Funktion zu finden $g$ so dass $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ überall.

Am einfachsten ist es zu versuchen $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ für eine Konstante $c > 0$ (was davon abhängen kann $d$). Durch Monotonie gilt die Ungleichung genau dann, wenn

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

für alle $x \in \mathbb{R}^d$. Dies kann erfolgen (zum Beispiel mit$c = 1/d$), aber an dieser Stelle lasse ich dich es versuchen.