Zeigen Sie das, wenn $a,b \in \mathbb{R}^n$, dann $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Question

Zeigen Sie das, wenn $a,b \in \mathbb{R}^n$, dann $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

Wir haben das $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

und das $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

Ich sehe jedoch nicht, wie ich von hier aus weitermachen kann. Wenn ich nehme$||a||-||b||$ ich verstehe das $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

das hilft überhaupt nicht. Was soll ich hier machen?

Answer 1

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

Daher $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.

Ebenso haben wir $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

Daher $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

Das ist $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

Answer 2

Hinterhältiger Trick: Schreiben $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$und verwenden Sie die Dreiecksungleichung direkt.

Answer 3

Da @Siong Thye Goh bereits die Lösung gefunden hat, werde ich eines erwähnen.

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$\blacksquare~$ Behauptung: Für jeden Vektor-Unterraum $(X, \| \cdot \|)$ von $~\mathbb{K}^{n}$haben wir die folgende Ungleichung erfüllt. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$Beweis: Wir haben durch$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} Dann $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

Daher haben wir das $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.

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Verwenden der Ungleichung für alle $x, x_0 \in X~$ zum $(X, \| \cdot \|)$ ist ein normierter linearer Raum und $X$ ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^n$Wir haben einen sehr wichtigen Anspruch.

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$\bullet~$ Behauptung: Die Karte$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$ist kontinuierlich oder mit anderen Worten, die Norm $\| \cdot \|$ist kontinuierlich.

$\bullet~$ Beweis: Aus der Definition der Kontinuität haben wir für jede gegeben$\epsilon > 0$gibt es $\delta > 0$ so dass
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} vom vorherigen Problem haben wir die Ungleichung \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Lassen Sie uns unsere auswählen $\epsilon = \delta$. Deshalb haben wir\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} Welches zeigt, dass die Karte $\| \cdot \|$ist kontinuierlich bei$x_{0}$. Wie$x_{0}$ist beliebig , dann ist die Funktion$\| \cdot \|$ist auf dem gesamten Raum kontinuierlich $X$.

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Dies ist der wichtige Beweis dafür, dass jede Norm in einem endlich dimensionalen Vektor-Unterraum von stetig ist$\mathbb{K}^n$.

Nicht im Zusammenhang mit der Frage, keine Absicht zu Spam :)