Zeigen Sie, dass ein Einsiedleroperator durch eine Einsiedlermatrix dargestellt wird.

Question

Lassen $\hat{A}$ ein Einsiedler sein.

Das muss ich zeigen $\overline{A_{\alpha\beta}}=A_{\beta\alpha}$

Also, wenn ein Operator Einsiedler ist, dann $\hat{A} = \hat{A}*$

Ich habe damit angefangen:

$\hat{A}*=\sum_{\alpha\beta}\overline{|u_{\alpha}\rangle A_{\alpha\beta}\langle u_{\beta}|}=\sum_{\alpha\beta}|u_{\beta}\rangle\overline{A_{\alpha\beta}}\langle u_{\alpha}|$

Ich weiß nicht, wie ich weitermachen soll

Answer 1

Beachten Sie jetzt das $$\hat A=\sum_{\alpha\beta}|u_\beta\rangle A_{\beta\alpha}\langle u_\alpha|$$Dies muss Ihrem endgültigen Ausdruck entsprechen $\sum_{\alpha\beta}|u_{\beta}\rangle\overline{A_{\alpha\beta}}\langle u_{\alpha}|$ von Hermitianness von $\hat A$. Vergleichen Sie die Koeffizienten nacheinander. Zum Beispiel durch Multiplikation der beiden Summen von links mit willkürlichen Basis-BHs$\langle u|$ und von rechts durch willkürliche Basis Kets $|u\rangle$.