Zeitliche Entwicklung der Wigner-Funktion

Question

Die Wigner-Funktion ist definiert als: $$W(x,p,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int dy \rho(x+y/2, x-y/2, t)e^{-ipy/\hbar}\tag{1}$$ Wo $\rho(x, y, t)=\langle x|\hat{\rho}|y\rangle$. Ich soll die zeitliche Entwicklung der Wigner-Funktion für den harmonischen Oszillator ausgehend von der von Neumann-Evolutionsgleichung finden, die gegeben ist durch:$$i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left[H,\rho\right].\tag{2}$$Ich bin mir nicht sicher, wie ich anfangen soll, da die von Neumann-Evolutionsgleichung den Kommutator des Hamilton-Operators und den Operator von Interesse umfasst. Die Wigner-Funktion ist jedoch eine Funktion. Wie kann ich den Kommutator bewerten?

Answer 1

Ausgehend von der von Neumann-Gleichung: $$i\hbar\partial \hat{\rho} / \partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}]$$ Wir nehmen nun die Weyl-Transformation auf beiden Seiten und stellen fest, dass die partielle Ableitung mit der Transformation pendelt und der Kommutator der Moyal-Klammer zugeordnet wird: $$i\hbar\partial \tilde{\rho} / \partial t=-2i\tilde{H} sin(\hbar \Lambda/2) \tilde{\rho}$$ wo die Tilde impliziert sie Weyl Transformation des Operators und $\Lambda = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}$Wobei die erste partielle Ableitung links und die zweite rechts wirkt. Nun kann gezeigt werden, dass die Weyl-Transformation des Hamilton-Operators des harmonischen Oszillators gerecht ist$\tilde{H}=p^2/2m+m\omega^2x^2$ Wenn wir nun die Sinusfunktion in einer Taylor-Reihe erweitern, erhalten wir: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$ Jetzt drücken wir den ersten Term der Summe separat aus und erhalten: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\left(\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$

Wenden wir nun den ersten Term der Summe an, die wir erhalten: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-i\hbar\left((p/m\frac{\partial}{\partial x} - 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}+\tilde{H}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$

Der Term links und die ersten beiden Terme rechts außerhalb der Summe ähneln genau der Lioville-Gleichung. Da der harmonische Oszillator Hamiltonian in quadratisch ist$x$ und $p$ und hat keine Begriffe höherer Ordnung, die Begriffe höherer Ordnung verschwinden und lassen uns mit:

$$\partial \tilde{\rho}+(p/m\frac{\partial}{\partial x} + 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}=0$$