Zur Definition der A-Theorie
Waldhausens A-Theorie ist eine Version der algebraischen K-Theorie der Räume. Konkret für einen (spitzen) Raum$X$betrachtet er die Kategorie 'Waldhausen' $\mathcal R_f(X)$ von endlichen retraktiven CW-Komplexen über $X$, wendet seins an $S_{\bullet}$ Konstruktion dazu und erhält einen unendlichen Schleifenraum, $A(X)$. Der Funktor$A$ ist in der hochdimensionalen geometrischen Topologie äußerst wichtig, zum Beispiel spielt es eine wichtige Rolle bei der Definition von $Wh^{\text{Diff}}(X)$und in der parametrisierten $h$-Kobordismus-Theorem von Waldhausen, Jahren und Rognes.
Das habe ich einige Zeit geglaubt $A(X)$ könnte äquivalent beschrieben werden (unter Verwendung moderner Maschinen, die nicht verfügbar waren, als Waldhausen seine Theorie entwickelte) als $K$-Theorie des Ringspektrums $\sum^{\infty}_+ \Omega X$, geeignet interpretiert.
Diese Woche habe ich erfahren, dass dies zwar funktioniert, um die verbundenen Komponenten zu verstehen, aber nicht die richtige Beschreibung enthält $\pi_0$: für jeden verbundenen Raum $X$, $\pi_0A(X)$ ist einfach $\mathbb Z$, gegeben durch die relative Euler-Charakteristik des relativen Zellkomplexes. Darüber hinaus die kanonische Karte$A(X) \to K(\mathbb Z\pi_1(X))$ induziert die kanonische Karte $\mathbb Z \to K_0(\mathbb Z\pi_1(X))$ auf verbundenen Komponenten, und der Kokernel dieser Karte ist $\tilde{K}_0(\mathbb Z \pi_1)$, was oft nicht trivial ist. (Siehe Walls Endlichkeitsbehinderung).
Meine Frage lautet also: könnte $A$-Theorie wurde definiert als endlich dominiert im Gegensatz zu endlichen relativen CW-Komplexen, und was gilt dann tatsächlich? Und wir müssen nur bedenken, dass es diesen Unterschied gibt$\pi_0$, aber sonst ist alles in Ordnung? Oder ist etwas Wesentlicheres los?
Es tut mir leid, wenn diese Frage vielleicht ziemlich vage ist, aber ich habe das Gefühl, dass ich nicht der einzige bin, der darüber verwirrt sein könnte ...
Antworten
Da die Frage unbeantwortet bleibt, möchte ich den Kommentar von Tom Goodwillie kopieren:
Wenn Sie endlich dominiert statt endlich zulassen, ändert sich nur π0. Analog dazu ändert sich bei der Definition von K (R) nur π0, wenn Sie endlich erzeugte projektive Module anstelle von frei verwenden. Ich glaube, dass dies irgendwo in Waldhausens großem Grundpapier diskutiert wird. Und im EKMM-Buch wird das entsprechende Thema für Verbindungsringspektren diskutiert.
Im Detail für $X$ ein verbundener Raum die (∞-) Kategorie des Perfekten $\mathbb{S}[\Omega X]$-Module ist die Spanier-Whitehead-Kategorie der Kategorie der endlich dominierten retraktiven CW-Komplexe über $X$und deshalb hat es die gleiche algebraische K-Theorie. Beschränkung auf endliche einziehbare CW-Komplexe$X$ entspricht der stabilen Unterkategorie Perfekt $\mathbb{S}[\Omega X]$-Module, die von den Freien unter Colimit erzeugt werden, und so ersetzt es durch Waldhausens Kofinalitätssatz nur die $\pi_0$ mit $\mathbb{Z}$.
Dies wird in Vorlesung 21 von Jacob Luries Kurs Algebraische K-Theorie und vielfältige Topologie ausführlich erläutert . Beachten Sie insbesondere die Warnung ~ 9 dort, wo Lurie bemerkt, dass seine Definition der A-Theorie sich nur von der "traditionellen" unterscheidet$\pi_0$.