Ayuda con el análisis real
¿Es la secuencia ($x_n$) = $a^n(n^2)$ , $0<a<1$ ¿convergente?
Prueba de que la secuencia es ilimitada y, por lo tanto, divergente:
Supongamos que está acotado, entonces existe $M>0$, tal que $M\geq|x_n|$ para todos $n \in \Bbb N$. Observamos que desde$a>0$ y $n>0$, todos los términos de la secuencia son positivos. Entonces$M\geq x_n$. Ya que$a^n$es positivo, entonces su recíproco también debe ser positivo. Por lo tanto, al multiplicar ambos lados por$1/a^n$, obtenemos $M/a^n\geq n^2$ para todos $n \in \Bbb N$.
Por la propiedad de Arquímedes, existe $n_1 \geq M/a^n$, ya que $M/a^n$es positivo. Dejar$n_2 = n_1 +1$. Entonces$n_2$ es un número natural, y $n_2 > M/a^n$, entonces $$ n_2^2 > n_2 M/a^n > n_1 M/ a^n \geq M/ a^n $$ entonces $n_2^2 > M/ a^n$. Pero entonces$M/a^n \geq n_2^2$ ya que $n_2 \in \Bbb N$. Ya que$n_2^2$ no puede ser más que $M/a^n$ y menor o igual a $M/a^n$ al mismo tiempo, hemos derivado una contradicción y, por tanto, la secuencia es ilimitada.
Prueba de que la secuencia converge: Empleamos la prueba de razón de Cauchy.
Toma la proporción $x_{n+1} / x_n$. Obtenemos$$ (a^{n+1} (n+1)^2)/a^n n^2 = a(n+1)^2 / n^2 = a(n^2/n^2 +2n/n^2 + 1/n^2) = a(1+2/n+ 1/n^2).$$ Dado que las secuencias $1/n^2$ y $1/n$ ambos convergen para $0$, la secuencia converge a $a(1)+ a(2)(0)+a(0)= a$. Ya que$a<1$, entonces la secuencia converge.
¿Podría alguien ayudarme, cuál de estas pruebas es falsa? ¿Estoy cometiendo errores, áreas en las que pueda mejorar? ¡Gracias!
Respuestas
La primera prueba es incorrecta. Cuando dice "pero luego$M/a^n\ge n_2^2$ ya que $n_2\in\mathbb N$"está tomando la verdadera propuesta $$\forall n\in\mathbb N:M/a^n\ge n^2$$ y luego sustituyendo $n_2$ para $n$ solo en uno de los dos lugares , lo cual no está permitido. La secuencia$(x_n)$ es de hecho convergente a $0$.