ayuda de números complejos

Question

Dados los siguientes números complejos: $$ z=1+i\sqrt{3} \qquad w = 0.707 - 0.707i $$ encuentra las formas cartesianas de las siguientes expresiones: $$ z^2 \bar{w}\qquad\text{and}\qquad \frac{z^3}{w^9} $$

El primero en el que encontré la respuesta es 1.414 - 1.414i, ¿es correcto?

Answer 1

Si conoces las formas polares de $z$ y $w$, entonces el cálculo se vuelve mucho más fácil como se menciona en los comentarios.

Suponer que $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ y $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, entonces

$z^{2}\bar{w}=(r_{1}e^{i\theta_{1}})^{2}(r_{2}e^{-i\theta_{2}})=r_{1}^{2}r_{2}e^{i(2\theta_{1}-\theta_{2})}$ y $\frac{z^{3}}{w^9}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{9}}e^{3i(\theta_{1}-3\theta_{2})}.$

Entonces puedes usar la fórmula de Euler :$re^{i\theta}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ para expresar su resultado en la forma $x+iy.$

Ahora desde $r_{1}=|z|=2$ y $\theta_{1}=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1})=\frac{\pi}{3}$ tienes eso $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.$ similar $w=r_{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ dónde $r_{2}=|w|=\sqrt{(0.707)^2+(0.707)^2}\space(\approx 0.9998489885978).$

Answer 2

Insinuación:

Observa eso $\;0.707\cong\cfrac1{\sqrt2}\approx\cfrac{\sqrt2}2\;$ , así

$$w\approx\frac{\sqrt2}2(1-i)$$

Así, el primero es

$$z^2\overline w=(-2+2\sqrt3\,i)\frac1{\sqrt2}(1+i)=\sqrt2(-1+\sqrt3~i)(1+i)=\sqrt2(-1-\sqrt3-(1-\sqrt3)i)=$$

$$=-\sqrt2\left[(1+\sqrt3+(1-\sqrt3)~\right]$$

Continuar desde aquí ...

Como comentamos, en forma polar es mucho más fácil. Al elegir el argumento estándar en [0,2 \ pi); $, obtenemos:

$$ \; z = 2e ^ {\ pi i / 4} \;, \; \; w = e ^ {3 \ pi i / 4} \ implica \ text {etc.} $$

y etc.