Celosías sobre módulos
La construcción estándar de celosías en $\mathbb{R}^n$ se puede generalizar tomando cualquier espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo $F$ y un subring $R$ de $F$, según Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).
¿Hay alguna razón por la que solo se consideren aquí los espacios vectoriales de dimensión finita y no los módulos libres de rango finito? La celosía aún debería formar un subgrupo aditivo, y creo que la propiedad de las bases para dar celosías isomorfas también debería ser la misma. ¿Hay alguna propiedad importante que se pierda con esta generalización adicional que me falta?
Respuestas
Una propiedad importante de la teoría de las celosías es el producto interno que se obtiene de $\mathbb{R}^n$, así como objetos relacionados como el volumen.
Muchos de los teoremas interesantes y útiles provienen de la interacción entre las estructuras algebraicas y geométricas, por ejemplo, el teorema de Minkowski y su aplicación a la geometría de los números. La geometría también es importante para sus aplicaciones en criptografía , ya que se necesita una norma para hablar de cosas como el problema del vector más corto.
Una definición equivalente de celosías es definirlas como un $\mathbb{Z}$módulo equipado con una forma cuadrática. La siguiente generalización aparece en la página 3 de "Lattices and Codes" de Ebeling.
Definición: Let$R$sea un anillo conmutativo con unidad. Un módulo de forma bilineal simétrico$(S,b)$ encima $R$ es un par que consta de un $R$-módulo $S$ de rango $n$y una forma bilineal simétrica $b : S \times S \to R$.
Proposición 1.1 (Ebeling) Las celosías integrales en$\mathbb{R}^n$ (celosías donde cada producto escalar es un número entero) son los módulos de forma bilineal simétrica sobre los números enteros donde $b$ es una forma bilineal simétrica definida positiva.
El texto menciona que módulos simétricos de forma bilineal sobre $\mathbb{Z}$ sin la propiedad positiva-definida se estudian en el capítulo 4, y los ejemplos sobre anillos de números enteros se estudian en el capítulo 5. Puede resultarle interesante examinarlos.