¿Cómo puedo definir este conjunto?
Dejar $A_1,..., A_n$ser una familia de conjuntos de conjuntos. Quiero crear un conjunto ahora como el siguiente:
El conjunto $B$ está formado por uniones de todas las combinaciones posibles de elementos de cualquier conjunto.
Por ejemplo: Let $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ y $A_3 = \{\{4\}\}$. Entonces el set$B$ debiera ser:
$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$
Mi pregunta es, ¿cómo puedo escribir formalmente este conjunto?
Mi enfoque fue el siguiente:
Primero pongamos todos los elementos que queremos combinar en el mismo conjunto: $\bigcup\limits_n A_n$
Entonces tomemos su conjunto de energía: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
En este conjunto de potencia tenemos todas las combinaciones que queremos:
Ahora podemos definir $B$ como:
$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$
Mi pregunta es, ¿me estoy complicando demasiado? ¿Existe alguna otra forma de definir este conjunto?
Respuestas
$\bigcup_nA_n$ es la colección de todos los conjuntos de los que puede dibujar elementos, por lo que $\bigcup\bigcup_nA_n$ es la colección de todos los elementos que puede utilizar para formar miembros de $B$; en tu ejemplo
$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$
y
$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$
Aparentemente, solo desea los subconjuntos no vacíos de $B$, entonces
$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$