¿Cómo puedo definir este conjunto?

Aug 20 2020

Dejar $A_1,..., A_n$ser una familia de conjuntos de conjuntos. Quiero crear un conjunto ahora como el siguiente:

El conjunto $B$ está formado por uniones de todas las combinaciones posibles de elementos de cualquier conjunto.

Por ejemplo: Let $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ y $A_3 = \{\{4\}\}$. Entonces el set$B$ debiera ser:

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

Mi pregunta es, ¿cómo puedo escribir formalmente este conjunto?

Mi enfoque fue el siguiente:

  • Primero pongamos todos los elementos que queremos combinar en el mismo conjunto: $\bigcup\limits_n A_n$

  • Entonces tomemos su conjunto de energía: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
    En este conjunto de potencia tenemos todas las combinaciones que queremos:

Ahora podemos definir $B$ como:

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

Mi pregunta es, ¿me estoy complicando demasiado? ¿Existe alguna otra forma de definir este conjunto?

Respuestas

1 BrianM.Scott Aug 20 2020 at 01:49

$\bigcup_nA_n$ es la colección de todos los conjuntos de los que puede dibujar elementos, por lo que $\bigcup\bigcup_nA_n$ es la colección de todos los elementos que puede utilizar para formar miembros de $B$; en tu ejemplo

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

y

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

Aparentemente, solo desea los subconjuntos no vacíos de $B$, entonces

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$