¿Cómo se “regularizan” las integrales infinitas?
Esta pregunta se inspiró en la publicación: " ¿Existe una razón sólida por la que algunas personas asumen que el teorema fundamental del cálculo todavía debería ser válido para integrales divergentes con límites impropios? " (Y la discusión de seguimiento). En pocas palabras, el OP estaba utilizando alguna técnica para "regularizar" integrales infinitas (y afirma, por ejemplo, que$\int_2^{\infty}\frac{dx}{x}$ tiene un "valor regularizado" de $-\log 2$) - y luego se quejaron de que cualquier regularización que estaban usando no funcionaba bien con las reglas para el cambio de variable en una integral.
Entonces ... ¿Qué es la "regularización" de una integral infinita? ¿Hay varias formas de hacerlo, o todas se reducen a lo mismo siempre que "funcionan"? ¿Existe alguna forma preferida de hacerlo? ¿Qué generalizaciones de esta noción se han utilizado / estudiado / son prácticas? ¿Es un tema de investigación activa? ¿Cuáles son los problemas no resueltos conocidos relacionados con él?
(Por supuesto, no espero que todas esas preguntas sean respondidas aquí, busco más algún tipo de referencia que posiblemente sea comprensible con conocimientos básicos de análisis real y complejo e integración de Lebesgue, o quizás un poco más que eso. un artículo del tipo "Todo lo que siempre quiso saber sobre la regularización pero tuvo miedo de preguntar ...")
Respuestas
Bien.
Primero, puede regularizar algunas integrales con las mismas técnicas con las que regulariza series divergentes. Por ejemplo, puede regularizar algunas integrales usando la suma de Cesaro . Básicamente, significa hallar el promedio de la integral cuando el límite de integración llega al infinito.
Usando estas y técnicas relacionadas, uno puede encontrar que
$$\int_0^\infty \sin x\, dx=1$$
e incluso
$$\int_0^\infty \tan x\,dx=\ln 2$$(ver aquí )
Pero estas integrales llegan a algún límite, al menos en un sentido de valor medio. Hay otras integrales que van al infinito y también permiten la regularización.
Por ejemplo, sabemos que la serie armónica se regulariza a la constante de Euler-Mascheroni (por regularización Zeta o Ramanujan):
$$\operatorname{reg}\sum_{k=1}^\infty \frac1k=\gamma$$
Al mismo tiempo, la diferencia entre la suma parcial y la integral va a $\gamma$ también (el área azul):
$$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac1{k}-\int_1^n\frac1t dt\right)$$
Esto nos permite concluir que $$\operatorname{reg}\int_1^\infty\frac1t dt=\operatorname{reg}\sum_{k=1}^\infty \frac1{k}-\gamma=0$$ ya que la regularización es siempre un operador lineal.
En general, se puede reducir la regularización de una integral a la regularización de la serie correspondiente:
$$\operatorname{reg}\int_0^\infty f(x)\,dx=\lim_{s\to0}\left( s \operatorname{reg} \sum_{k=1}^\infty f(sk)\right)$$
Respuesta básica: no existe la regularización de una integral. O es convergente o no tiene sentido. Los ejemplos en la publicación citada son solo otro ejemplo de manipulaciones que involucran infinito que conducen a resultados absurdos (por lo tanto, esto no debería hacerse).
Respuesta más larga: -En los cursos de análisis complejo, tiene integrales con parámetros (complejos) que definen funciones holomórficas y pueden extenderse en un conjunto más grande que el conjunto donde la integral es convergente. Vea, por ejemplo, la extensión holomórfica de la función Gamma, esto está en cualquier libro sobre análisis complejo.
Las siguientes respuestas están mucho más allá del nivel de pregrado.
-Los físicos suelen utilizar la noción de renormalización, que consiste en quitar la parte divergente de la integral de alguna cantidad física, lamentablemente nunca entendí realmente qué parte de ella era rigurosa, y qué parte solo se cocinaba.
-En cierta medida, el trabajo de Martin Hairer (medallista Fields 2014) también se centra en cuestiones de renormalización de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. No sé mucho al respecto, pero puedo decir que se requieren conocimientos de nivel de posgrado en probabilidades para comprender los problemas. Documento de encuestahttps://arxiv.org/pdf/1803.03044.pdf