Contraejemplo de lema de Schur

Question

Estoy estudiando teoría de la representación básica usando GTM$42$, encontrando un problema en el lema de Schur:

Schur Lemma . Dado$G$ Un grupo, $V$ un espacio vectorial en $\mathbb C$ y una representación irreductible $\rho : G \to Gl(V)$. Si un mapa lineal$f : V \rightarrow V$ se desplaza con todos $\rho_g, g\in G$, luego $f=\lambda$ para algunos $\lambda\in \mathbb C$.

La prueba de este lema depende del hecho de que $\mathbb C$está algebraicamente cerrado. Ahora se me pide que dé un contraejemplo de este lema cuando$V$ Está encendido $\mathbb Q$ pero no puedo encontrar uno (no estoy familiarizado con subgrupos de $Gl(n,\mathbb Q)$). Además, me pregunto si existe un contraejemplo para cualquier campo que no esté cerrado algebraicamente.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

El lema de Schur se basa en la existencia de suficientes valores propios. Tómalo$f$no tener valores propios en el campo base. Considere, por ejemplo, la rotación del plano racional$f = \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}$. Esta$f$ tiene orden 4, así que tomaré $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ con $1\mapsto f$.

Ahora $\mathbb{Q}^2$ es una representación irreducible (porque cualquier subespacio invariante adecuado debe ser unidimensional) de $G$ y $f\colon\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}^2$ es $G$-lineal, pero no es una multiplicación escalar. Por cierto, esto también da un ejemplo de una representación irreductible de un grupo abeliano que no es de dimensión 1. (Lo mismo se aplica a cualquier campo sin una raíz cuadrada de$-1$).