¿Cuántos parámetros se estiman en un modelo 2PL?

Question

Estoy familiarizado con los modelos 1PL IRT, donde tienes una matriz de datos y modelas los factores latentes, theta (el rasgo / habilidad) y la dificultad (elemento).

data = np.array([[1,1,1,1],
                 [1,1,1,0],
                 [1,1,0,0],
                 [1,0,0,0],
                 [0,0,0,0]])

theta = [t1,t2,t3,t4,t5]
difficulty = [d1,d,2,d3,d4]

Considere una prueba lingüística para niños, donde cada fila representa un niño diferente y cada columna representa una pregunta diferente. Entonces, la matriz de datos en una fila / columna específica captura la respuesta de un niño determinado a una pregunta determinada. El modelo 1PL sigmoid(t-d)aprende estas características latentes, de modo que puede cuantificar la dificultad de cada pregunta y la capacidad de cada niño. Tenga en cuenta que hay 9 parámetros en el modelo 1PL (5 niños, 4 preguntas).

Ahora, el modelo 2PL toma una forma ligeramente diferente sigmoid(a(t-d)), donde a es el factor de discriminación. No estoy seguro si a es:

1. Un valor escalar, que es el mismo, independientemente del emparejamiento de elemento / elemento. (10 parámetros en total)
2. Una matriz de longitud 5, un elemento por niño. (14 parámetros)
3. Una matriz de longitud 4, un elemento por pregunta. (13 parámetros)
4. Una matriz, un elemento por cada emparejamiento de elemento / elemento. (29 parámetros)

Q1. ¿Cuál de las anteriores es la forma canónica del modelo 2PL? (o si se trata de alguna otra configuración no enumerada anteriormente).

Q2. ¿Cuál es una buena elección de prior para a? (He usado una distribución normal en la interpretación 2 anterior para resultados inestables usando métodos MCMC para el enfoque bayesiano).

¡Gracias!

Answer 1

P1 El modelo logístico de un parámetro (1PL) predice la$i^{th}$ respuesta de los estudiantes a la $j^{th}$ elemento en función de la capacidad del estudiante $\theta_i$, la $j^{th}$ dificultad del artículo $b_j$, y una pendiente común $a$. En una prueba de 4 elementos (su ejemplo), esto requiere la estimación de 5 parámetros de elementos: una pendiente común y 4 parámetros de dificultad.

$P(X_{ij} = 1|\theta_i) = \frac{exp[a(\theta_i-b_j)]}{1+exp[a(\theta_i-b_j)]}$

El modelo logístico de dos parámetros (2PL) difiere del 1PL en que libera la pendiente común para variar a lo largo de la $j$artículos. En su prueba de 4 elementos, esto requiere la estimación de 8 parámetros de elementos: 4 pendientes y 4 parámetros de dificultad.

$P(X_{ij} = 1|\theta_i) = \frac{exp[a_j(\theta_i-b_j)]}{1+exp[a_j(\theta_i-b_j)]}$

P2 Con respecto a una elección de anterior, he usado la distribución lognormal en el pasado (consulte la referencia 1 para obtener más información). Sin embargo, no estoy seguro de que IRT sea la herramienta adecuada para su problema (independientemente de la técnica de estimación). Incluso con antecedentes sólidos (que parece no tener), su muestra es bastante pequeña. Incluso las reglas generales para el uso de IRT generalmente requieren tamaños de muestra> 100 (consulte la referencia 2 para obtener más información).

(1) Natesan, P., Nandakumar, R., Minka, T. y Rubright, JD (2016). Elección previa bayesiana en la estimación de IRT utilizando MCMC y Bayes variacional. Fronteras en psicología, 7, 1422.

(2) Cappelleri, JC, Lundy, JJ y Hays, RD (2014). Descripción general de la teoría clásica de las pruebas y la teoría de la respuesta al ítem para la evaluación cuantitativa de ítems en el desarrollo de medidas de resultados informadas por el paciente. Terapéutica clínica, 36 (5), 648-662.