Degeneración del estado fundamental del oscilador armónico

Question

Estaba siguiendo los videos de Sidney Coleman y las notas de la conferencia donde afirmaba que el estado fundamental único requiere un oscilador armónico sin espín, mientras que el giro introduce degeneración en el estado fundamental correspondiente a los diversos valores del componente z del giro.

¿Alguien puede explicar cómo aparece la degeneración para el estado fundamental del oscilador armónico cuántico de espín distinto de cero?

Answer 1

La degeneración ocurre cuando un sistema tiene más de un estado para un nivel de energía particular. Considerando el oscilador armónico tridimensional, la energía viene dada por

$$E_n = (n_x + n_y + n_z) \,\hbar \omega + \frac{3}{2},$$

dónde $n_x, n_y$y $n_z$ son enteros, y un estado se puede representar por $|n_x, n_y, n_z\rangle$. Puede verse fácilmente que todos los estados, excepto el estado fundamental, están degenerados.

Ahora suponga que la partícula tiene un giro (digamos, giro$1/2$). En este caso, el estado total del sistema necesita cuatro números cuánticos para describirlo,$n_x, n_y, n_z,$ y $s$, el giro de la partícula y puede tomar (en este caso) dos valores$|+\rangle$ o $|-\rangle$. Sin embargo, el giro no aparece en ninguna parte del hamiltoniano y, por lo tanto, en la expresión de energía, y por lo tanto ambos estados

$$|n_x, n_y, n_z, +\rangle \quad \quad\text{and} \quad \quad |n_x, n_y, n_z, -\rangle$$

son distintos , pero sin embargo tienen la misma energía. Por lo tanto, si tenemos un espín distinto de cero, el estado fundamental ya no puede ser no degenerado.

Answer 2

El oscilador armónico 1D Hamilton está dado por $$H=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$ dónde $\omega$ es la frecuencia y $n$ es un número natural.

Como puede ver, el hamiltoniano es independiente del giro. $s$. Lo que significa que es posible observar / definir simultáneamente espín y energía. Además, significa que cada nivel de energía$n$ puede tener $2s+1$posibles valores de giro. Por lo tanto, cada nivel es degenerado, incluido el estado fundamental (excepto cuando$s=0$).