Desigualdad sobre la función simétrica elemental

Question

Para cualquier número dado $\{x_1,...,x_n\}$, la k-ésima función simétrica elemental es $$ E_k=\sum_{1\le i_1<...<i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k},~~~~~~~k=1,...,n. $$ Supongo que el $E_k$ puede ser controlado por $E_1$ y $E_n$, es decir, hay funciones adecuadas $f,g$ tal que $$ g(E_1,E_n) \le E_k \le f(E_1,E_n), ~~~~~~~~~\forall k=1,...,n. $$Pero no encuentro las funciones adecuadas, así que espero recibir ayuda aquí. Gracias por cualquier pista o respuesta.

PD: $x_i$ puede no ser positivo.

Answer 1

El control, sobre lo que dices, podemos obtener si lo hay $x_i\geq0$.

Si es así, deja $e_k=\sqrt[k]{\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}}{\binom{n}{k}}}.$

Así, por el teorema de Rolle podemos probar que: $$e_1\geq e_2\geq...\geq e_n.$$ De aqui para cualquier $k\in\{1,2,...,n\}$ obtenemos: $$e_1\geq e_k\geq e_n.$$ Xa $n\geq4$ y variables reales $x_i$ hay lo siguiente.

Dejar $e_4^4=\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<i_3<i_4\leq n}x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}x_{i_4}}{\binom{n}{4}}$, $e_3^3=\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<i_3\leq n}x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}}{\binom{n}{3}}$, $e_2^2=\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2\leq n}x_{i_1}x_{i_2}}{\binom{n}{2}}$ y $e_1=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n},$ dónde $e_4^4$ y $e_2^2$ pueden ser negativos.

Entonces, la siguiente desigualdad se mantiene: $$e_4^4\geq4e_1e_3^3-3e_2^4.$$