EDO en variable $r$

Question

Estoy seguro de que esta es una pregunta simple, pero necesitaré ayuda.

Mientras trataba de resolver un PDE usando la separación de variables, encontré un ODE.

Quiero resolver la siguiente EDO: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

La solucion es $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Verifica cuando lo conecta, pero ¿cómo obtenemos la solución?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Reescribirlo como: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Ahora solo resuélvelo como: $$y''+\lambda^2y=0$$ Dónde $y=rR(r)$. Es solo una ecuación diferencial lineal de segundo orden que es fácil de resolver.