Entender bien los espacios vectoriales
Realmente quiero tener una sólida comprensión del álgebra lineal abstracta por 2 razones, quiero profundizar en las matemáticas puras por placer (álgebra abstracta, teoría de números, etc.) y tener una comprensión más profunda de cómo funcionan los algoritmos de aprendizaje automático bajo el capó.
He estado luchando por comprender bien los espacios vectoriales. He leído los axiomas, sus pruebas y otros ejemplos / ejercicios de muestra sobre ellos en ambos libros de texto, así como aquí en el intercambio de pila de matemáticas. Cuando miro las soluciones aquí y en algún intercambio de pila matemática sobre por qué un determinado objeto es un espacio vectorial o no, no sigo el razonamiento. Aquí hay una pregunta tan antigua de aquí (este es solo un ejemplo, hay muchas otras que no sigo)
Cuando miré la respuesta aceptada muy breve que solo dice:
Sea 𝑢 = (1,0) y 𝑣 = (0,1). Entonces 𝑢 + ′ 𝑣 = (1, −1) y 𝑣 + ′ 𝑢 = (2,3).
No entiendo cómo se les ocurrió (2,3)?
Miré la segunda solución que tiene muchos más detalles y estoy bastante confundido. Parece que las manipulaciones algebraicas se hacen de una manera diferente de lo que esperaría si conociera el álgebra de la escuela secundaria.
Por ejemplo aquí (lo siento, todavía necesito aprender látex):
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = (𝑥1 + 2𝑦1,3𝑥2 − 𝑦2) + (𝑧1, 𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,3 (3𝑥2 − 𝑦2) −𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,9𝑥2− 3𝑦2 − 𝑧2)
¿Alguien podría explicarme cómo se llega a cada una de estas ecuaciones en detalle? No entiendo por qué puede agregar un "+ 2z1" cuando solo era "z1" por sí mismo. Además, en la siguiente ecuación, ¿por qué puedes hacer "3 (3𝑥2 − 𝑦2)", parece que estás aplicando el multiplicador 3 2 veces? Y el mismo razonamiento que me falta en la ecuación 𝑥 + (𝑦 + 𝑧), pero supongo que sería similar.
¡Gracias!
Respuestas
La suma de vectores normal se define de modo que, dados dos vectores (bidimensionales) $\vec x = (x_1, x_2)$ y $\vec y = (y_1, y_2)$, su suma $\vec x + \vec y = (x_1, x_2) + (y_1, y_2)$ se define como igual a $(x_1 + y_1,\ x_2 + y_2)$. En otras palabras,$$(x_1, x_2) + (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + y_1,\ x_2 + y_2).$$
(Tenga en cuenta que el $+$ firmar en el lado izquierdo del $\overset{\rm def}{=}$symbol es realmente una nueva operación que estamos definiendo, ya que no hemos definido previamente lo que significa sumar dos vectores. Los dos$+$ los signos de la derecha, sin embargo, simplemente denotan la suma ordinaria de dos números).
Ahora, la pregunta pregunta qué pasaría si definiéramos este nuevo operador de suma vectorial de manera diferente. Para evitar confundir esta definición alternativa con la normal dada anteriormente, denotemos el operador de adición alternativo con un símbolo diferente. La pregunta usa$+'$ para este nuevo operador, pero realmente no me gusta esa opción por razones tipográficas (el apóstrofo parece demasiado desconectado del signo más), así que déjame llamarlo $\oplus$en lugar. Por lo tanto, nuestra regla de adición de vectores alternativos ahora se ve así:$$(x_1, x_2) \oplus (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + 2y_1,\ 3x_2 - y_2).$$
Ahora, la pregunta es si el conjunto $\mathbb R^2$, equipado con el operador habitual de multiplicación de vectores $\cdot$ y este nuevo operador de adición alternativo $\oplus$, también podría satisfacer la definición de un espacio vectorial sobre$\mathbb R$.
Resulta que la respuesta es "no". Y para demostrar eso, todo lo que tenemos que hacer es dar al menos un ejemplo de vectores para los cuales al menos uno de los axiomas en la definición de un espacio vectorial no se cumple.
Ahora, uno de estos axiomas es que la suma de vectores debe ser conmutativa: si $+$ denota el operador de suma en un espacio vectorial, entonces $\vec x + \vec y$ debe ser siempre igual a $\vec y + \vec x$. Claramente, este axioma es válido para el operador de suma habitual, como se define en la parte superior de esta respuesta. ¿También es válido para el operador alternativo?$\oplus$?
Un momento de pensamiento debería revelar que no es así, ya que $x_1 + 2y_1$ generalmente no es igual a $y_1 + 2x_1$. (De hecho, las dos expresiones solo son iguales si$x_1 = y_1$.) Y, para el caso, $3x_2 - y_2$ tampoco es igual a $3y_2 - x_2$ a no ser que $x_2 = y_2$.
Entonces este operador de adición alternativo $\oplus$ de hecho, falla el requisito de conmutatividad tanto como es posible fallarlo: $\vec x \oplus \vec y \ne \vec y \oplus \vec x$ cuando $\vec x \ne \vec y$.
Pero, como señalé anteriormente, en realidad no necesitamos probar que esta falla de conmutatividad ocurre para todos los pares de vectores no iguales$\vec x$ y $\vec y$. Todo lo que tenemos que hacer es mostrar un par de vectores para los que no se cumple. Así que escojamos dos vectores distintos, digamos,$\vec x = (0,1)$ y $\vec y = (1,0)$ - y haz la aritmética:
$$\begin{alignat}{3} \vec x \oplus \vec y &=\;& (0,1) \oplus (1,0) &=\;& (0 + 2 \cdot 1,\ 3 \cdot 1 - 0) &= (2,3) \\ \vec y \oplus \vec x &=\;& (1,0) \oplus (0,1) &=\;& (1 + 2 \cdot 0,\ 3 \cdot 0 - 1) &= (1,-1). \end{alignat}$$
Por supuesto, también podría elegir cualquier otro par de vectores distintos. Y, por supuesto, no importa si llama a los vectores de ejemplo$\vec x$ y $\vec y$ o $\vec u$ y $\vec v$o lo que sea. Y tampoco importa si escribe sus símbolos vectoriales como$\vec x$ o $\bar x$ o $\mathbf x$ o solo $x$, aunque generalmente debe intentar seguir cualquier convención que utilice su libro de texto.