¿Es una transformación lineal?

Question

Me encontré con la pregunta si f(x) = x + y($x$ y $y$ son vectores) es una transformación lineal.

Yo respondería que esta no es una transformación lineal porque si y fuera cualquier otra cosa que el vector cero, entonces para $x =$ vector cero, el vector resultante no sería el vector cero y, por lo tanto, el origen no permanecería en su lugar.

Pero si $y$ sería el vector cero, ¿esto contaría como una transformación lineal?

Gracias

Answer 1

Tenemos $f(x+x') = (x+x')+y = x+x'+y$, pero $f(x)+f(x') = (x+y)+(x'+y) = x+x' +2y$.

Entonces a menos que $y=0$, $f(x+x') \ne f(x)+f(x')$ y por lo tanto $f$ no es una transformación lineal.

Answer 2

La función $f$que definiste se llama traducción de paso $y$, dónde $y$es un vector. Algunos libros de texto escriben traducciones como$t_y(x) = x+y$, donde ambos $x$ y $y$ son vectores.

Sí, tienes razón: a menos que $y$ es el vector cero, $f$no es una transformación lineal. Te diré más: dado que se trata de una traslación, también puedes probar que la única traslación que también es una transformación lineal, es la traslación por el vector cero, que no es más que la identidad.$$t_y \; \text{is a linear transformation} \iff y=\vec{0}$$