Espacio topológico, colector, conjuntos abiertos
Considere un homeomorfismo $f$ enviando un set abierto $X$ de un colector a un conjunto abierto $Y$ de otro colector: $$ f\,:~X \longrightarrow Y~~. $$ Siendo un homeomorfismo, $f$ es continuo, y también lo es su inverso $g = f^{-1}~$: $$ g\,:~ Y\longrightarrow X ~~. $$
Entonces un subconjunto (no necesariamente abierto) $$ A \subset X $$ está mapeado por $f$ a un subconjunto (no necesariamente abierto) $f A\subset Y$.
Las restricciones resultantes de $f$ y $g = f^{-1}$ son:
$$ f_{~|A}\,: ~~~~ A \longrightarrow f(A)~~, $$ $$ g_{~|f(A)}\,: ~~~ f(A) \longrightarrow A ~~. $$
Ahora bien, si postulo que la imagen $f(A)~$ ${\underline{\mbox{is}}}$ abierto, ¿implicará eso que la preimagen $A$ también está abierto?
Dicho brevemente: ¿también es continua una restricción de un mapa continuo?
/ Ciertamente está en cálculo, pero ¿cómo mostrar esto en topología? /
Respuestas
Si $f:X\to Y$ es un homeomorfismo y $A\subseteq X$, luego $f_{|A}:A\to f(A)$también es un homeomorfismo. Independientemente de que$A$ está, abierto o no.
De hecho, ser un homeomorfismo significa que hay un inverso continuo $g:Y\to X$. Ahora bien, una restricción de función continua es continua y por lo tanto$f_{|A}$es continuo. Obviamente$g_{|f(A)}:f(A)\to A$ está bien definido (porque $g(f(A))=A$) y continuo también. Esta$g_{|f(A)}$ es el inverso de $f_{|A}$.
Bien, creo que lo tengo ahora, gracias a @NDewolf y @freakish.
En mi pregunta faltaba un detalle: olvidé decir que $A$se le da la topología del subespacio. Con este detalle agregado, la respuesta debería verse así:
Si $f$ es continuo, esto significa que para cualquier $f(A)$ su preimagen $A$ debe estar abierto.
Específicamente, la restricción $f_{|A}$es continuo dado que$A$se le da la topología del subespacio .