Evaluar una cierta integral restringida tridimensional

Question

El resultado de la integración tridimensional

Integrate[9081072000 (Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 
2])^2 (Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 
3])^2 (Subscript[λ, 2] - Subscript[λ, 3])^2 (-1 + 
2 Subscript[λ, 1] + Subscript[λ, 2] + 
Subscript[λ, 3])^2 (-1 + Subscript[λ, 1] + 
2 Subscript[λ, 2] + Subscript[λ, 3])^2 (-1 + 
Subscript[λ, 1] + Subscript[λ, 2] + 
2 Subscript[λ, 3])^2 Boole[Subscript[λ, 1] > Subscript[λ, 2] && 
Subscript[λ, 2] > Subscript[λ, 3] && 
Subscript[λ, 3] > 
 1 - Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 2] - 
  Subscript[λ, 3] && 
Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 3] < 
 2 Sqrt[Subscript[λ, 
   2] (1 - Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 2] - 
     Subscript[λ, 3])]], {Subscript[λ, 3], 0, 1}, {Subscript[λ, 2], 0, 1}, {Subscript[λ, 1], 0, 1}],

es decir,

para la probabilidad de separabilidad absoluta de Hilbert-Schmidt de dos qubit aparentemente se puede expresar como

\ begin {ecuación} \ label {HSabs} \ frac {29902415923} {497664} + \ frac {-3217542976 + 5120883075 \ pi -16386825840 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} \ right)} { 32768 \ sqrt {2}} = \ end {ecuación} \ begin {ecuación} \ frac {32 (29902415923 - 24433216974 \ sqrt {2}) + 248874917445 \ sqrt {2} (5 \ pi - 16 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} \ right))} {2 ^ {16} \ cdot 3 ^ 5} \ approx 0.00365826 \ end {ecuación}

QuantumComputingStackExchangeQuestion

¿Se puede confirmar esto explícitamente usando Mathematica?

Mediante el uso de la transformación,

change = {Subscript[λ, 1] -> x/(1 + 2 x), Subscript[λ, 2] -> y/(1 + y) (1 + x)/(1 + 2 x), Subscript[λ, 3] -> z 1/(1 + y) (1 + x)/(1 + 2 x)};

Nicolas Tessore ahora me ha informado que pudo convertir la integral 3D en una sin restricciones de la forma,

Integrate[integrand2, {z, 1/2, 1}, {y, z, 2 + 2 Sqrt[1 - z] - z}, {x, y, 2 Sqrt[-((-y - 2 y^2 - y^3 + y z + 2 y^2 z + 
  y^3 z)/(-1 + y + z)^4)] + ( 4 y + z - 3 y z - z^2)/(-1 + y + z)^2}],

dónde

integrand2 = (9081072000 (1 + x)^8 (x - y)^2 (1 - 2 z)^2 (y - z)^2 (-1 + y + z)^2 (z + x (-1 - y + z))^2 (-1 + z + x (y + z))^2)/((1 + 2 x)^16 (1 + y)^15)  .

Permítanme indicar aquí que el resultado indicado se obtuvo en el artículo de 2009

2009 papel

Obtuve este resultado (ecuación (34) allí), pero el proceso paso a paso ahora solicitado no se detalló. Hubo comentarios de interés actual que «[C] se hizo un uso acertado de identidades trigonométricas que implican el ángulo diedro tetraédrico$\phi=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$, asistido por V. Jovovic "y que se hizo uso de la secuencia del sitio web de Sloane A025172 -" Sea phi = arccos (1/3), el ángulo diedro del tetraedro regular. Entonces cos (n * phi) = a (n) / 3 ^ n ". (Esta secuencia es" [u] sed cuando muestra que el simplex regular no es "diseccionable con tijeras" en un cubo, respondiendo así al tercer problema de Hilbert. ".)

Secuencia A025172

Estos comentarios me llevaron a consultar mis archivos de correo electrónico.

El 21 de abril de 2008 le escribí a Vladeta Jovovic (y también a Wouter Meeussen y Neil Sloane) lo siguiente:

"Estimados Drs. Jovocic / Meeussen / Sloane:

He estado haciendo algunos análisis en los que he podido simplificar varios términos trigonométricos usando la relación

cos(n*phi) =a(n)/3^n dónde phi=ArcCos(1/3)

reportado en la secuencia Superseeker de Sloane

A025172.

Tengo dos términos más ArcTan[(1/329 )(729 - 460 Sqrt[2])]y ArcTan[(1/7) (9 + 4 Sqrt[2])], que también pertenecen claramente, desde 329/729 =a(6)/3^6y -7/9 =a(2)/3^2.

Pero no veo cómo manipularlos para volver a expresarlos / simplificarlos en términos de phi, que supongo que es posible / natural.

¿Quizás tiene algunas ideas sobre este asunto?

Sinceramente,

Paul B. Slater

PD también tengo el término

ArcTan[(1/7) (-3 + Sqrt[2])]

que quizás también tenga alguna forma más simple ".

Recibí respuestas:

"para n de 0 a 10 hacer q: = tan (-n * phi): print (expand (q)); od:

                                0


                                 1/2
                             -2 2


                                 1/2
                              4 2
                              ------
                                7


                                  1/2
                              10 2
                            - -------
                                23


                                 1/2
                             56 2
                             -------
                               17


                                 1/2
                             22 2
                             -------
                               241


                                   1/2
                              460 2
                            - --------
                                329


                                  1/2
                            1118 2
                            ---------
                              1511


                                   1/2
                             1904 2
                           - ---------
                               5983


                                   1/2
                            13870 2
                            ----------
                               1633


                                   1/2
                            10604 2
                            ----------
                              57113

V.

y

phi=ArcCos(1/3)

ArcTan[(1/329 )(729 - 460 Sqrt[2])]

5 Pi / 4 - 3 phi

ArcTan[(1/7) (9 + 4 Sqrt[2])],

3 * Pi / 4 - phi.

Saludos cordiales, Vladeta "

Durante la semana siguiente, V. Jovovic también escribió:

ArcTan[(1/7) (-9 + 4 Sqrt[2])]

Pi / 4-phi

ArcTan[(1/7) (-3 + Sqrt[2])]

Pi / 8-phi / 2

ArcSin[(1/6) (4 + Sqrt[2])]
= 3*Pi/4 - phi

y

ArcCsc[3/17 Sqrt[52 + 14 Sqrt[2]]]

5 * Pi / 8-phi

ArcTan[7/(3 + Sqrt[2])]

Pi / 8 + phi / 2

ArcTan[1/(3 + Sqrt[2])]

• Pi / 8 + phi / 2

ArcCsc[Sqrt[6 (2 + Sqrt[2])]]

5 * Pi / 8-phi

Aunque esta correspondencia de correo electrónico de 2008 fue claramente fundamental para la obtención de la fórmula indicada (para la cual se solicita una demostración de Mathematica), actualmente no me queda claro de qué manera se obtuvieron y emplearon los resultados discutidos allí. (Además, aparentemente esta correspondencia de 2008 se llevó a cabo después (!) De que pude realizar la integración 3D deseada, y obtuve un resultado para el cual fue posible cierta simplificación, utilizando las transformaciones de Jovovic).

Answer 1

Esto ahora está más cerca de una respuesta en el sentido de que intenté seguir la buena sugerencia de @UlrichNeumann sobre dividir la integración en partes.

He cambiado las variables con subíndice a x, yy zpara aligerar la carga de texto. Las restricciones en la Boolefunción se pueden escribir como

1 > x > y > z > 0 && z > 1 - x - y - z && x - z < 2 Sqrt[y (1 - x - y - z)]

Si Reducese usa en este

Reduce[1 > x > y > z > 0 && z > 1 - x - y - z && x - z < 2 Sqrt[y (1 - x - y - z)]]

se pueden ver 5 integraciones mutuamente excluyentes a realizar:

c1 = 1/8 (2 - Sqrt[2]) < z <= 1/6 && 1 - z - 2 Sqrt[z - 2 z^2] < y <= 1/2 (1 - 2 z) && 
   1 - y - 2 z < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c2 = 1/8 (2 - Sqrt[2]) < z <= 1/6 && 1/2 (1 - 2 z) < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c3 = 1/6 < z <= 1/4 && z < y <= 1/2 (1 - 2 z) && 1 - y - 2 z < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c4 = 1/6 < z <= 1/4 && 1/2 (1 - 2 z) < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c5 = 1/4 < z < 1/3 && z < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];

Las integraciones sobre xy yse pueden escribir de la siguiente manera:

(* Define the integrand *)
integrand = 9081072000 (x - y)^2 (x - z)^2 (y - z)^2 (-1 + 2 x + y + z)^2 (-1 + x + 2 y + z)^2 (-1 + x + y + 2 z)^2;

(* Initial integrations *)
a1 = Integrate[integrand, {y, 1 - z - 2 Sqrt[z - 2 z^2], 1/2 (1 - 2 z)}, {x, 
   1 - y - 2 z, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/8 (2 - Sqrt[2]) < z < 1/6}];(* Around 6 minutes *)
a2 = Integrate[integrand, {y, 1/2 (1 - 2 z), (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2]}, {x, y, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/8 (2 - Sqrt[2]) < z < 1/6}]; (* Around 4 minutes *)
a3 = Integrate[integrand, {y, z, 1/2 (1 - 2 z)}, {x, 1 - y - 2 z, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/6 < z < 1/4}];
a4 = Integrate[integrand, {y, 1/2 (1 - 2 z), (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2]}, {x, y, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/6 < z < 1/4}]; (* Around 3 minutes *)
a5 = Integrate[integrand, {y, z, (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2]}, {x, 
   y, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/4 < z < 1/3}]; (* Around 5 minutes *)

Ahora se necesitan algunas simplificaciones para las integrales que Mathematica y Rubi no manejan directamente:

(* Simplification rules *)
(* These can be shown to be true (or at least reasonable) by looking at Series[...,{z,0,10}] *)
(* These are the terms that Mathematica and Rubi can't handle directly *)
rules = {Sqrt[(-1 + 2 z) (-1 + z + 2 Sqrt[(1 - 2 z) z])] -> 1 - 2 z - Sqrt[(1 - 2 z) z],
   Sqrt[-z (-1 + z + 2 Sqrt[(1 - 2 z) z])] -> Sqrt[(1 - 2 z) z] - z,
   Sqrt[(1 + z) (2 - z + 2 Sqrt[1 - z - 2 z^2])] -> 1 + z + Sqrt[1 - z - 2 z^2],
   Sqrt[(-1 + 2 z) (z - 2 (1 + Sqrt[1 - z - 2 z^2]))] -> 1 - 2 z + Sqrt[1 - z - 2 z^2]};

Combinar en 3 integrandos con el mismo rango de valores para z

integrandA = Expand[Expand[a1 + a2] /. rules] /. Sqrt[(1 - 2 z) z^k_] -> z^((k - 1)/2) Sqrt[(1 - 2 z) z];
integrandB = Expand[Expand[a3 + a4] /. rules] /. Sqrt[(1 - 2 z) z^k_] -> z^((k - 1)/2) Sqrt[(1 - 2 z) z];
integrandC = Expand[Expand[a5] /. rules] /. Sqrt[(1 - 2 z) z^k_] -> z^((k - 1)/2) Sqrt[(1 - 2 z) z];
  

Los 3 integrandos tienen una estructura común y coeficientes compartidos que se pueden escribir de la siguiente manera:

$$\text{Integral of integrandA}=\sum_{i=0}^{14} c_{A,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz+ \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz$$

$$\text{Integral of integrandB}=\sum_{i=0}^{14} c_{B,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz- \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz$$

$$\text{Integral of integrandC}=\sum_{i=0}^{14} c_{C,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz- \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz$$

Entonces, debido a que algunos de los coeficientes son compartidos, se puede simplificar un poco el total realizando integraciones que van desde {z,1/6, 1/3}y {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/3}. La razón para hacerlo es que el resultado es mucho más simple. La siguiente es la integral final:

$$\begin{multline} \sum_{i=0}^{14} c_{A1,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz + \sum_{i=0}^{14} c_{B,i}\int\limits_{1/6}^{1/4}z^i dz + \sum_{i=0}^{14} c_{C,i}\int\limits_{1/4}^{1/3}z^i dz + \\ \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz- \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{1/6}^{1/3}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/3}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz \end{multline} $$

En términos de Mathematica (lo que podría mostrar mi falta de habilidad para extraer las piezas apropiadas):

(* Now collect integrand terms to allow for combining ranges of z *)
i1 = integrandA /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0 /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0;
i2 = integrandB /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0 /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0;
i3 = integrandC /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0 /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0;
i4 = integrandA - (integrandA /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0);
i5 = integrandA - (integrandA /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0);
s1 = Integrate[i1, {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/6}] // Expand // FullSimplify;
s2 = Integrate[i2, {z, 1/6, 1/4}] // Expand // FullSimplify;
s3 = Integrate[i3, {z, 1/4, 1/3}] // Expand // FullSimplify;
s4 = Integrate[i4, {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/6}] // Expand // FullSimplify;
s5 = -Integrate[i4, {z, 1/6, 1/3}] // Expand // FullSimplify;
s6 = Integrate[i5, {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/3}] // Expand // FullSimplify;
total = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 // FullSimplify

(* (746624752335 Sqrt[2] π - 4 (-478438654768 + 390931471584 Sqrt[2] + 
    497749834890 Sqrt[2] ArcCsc[3] + 
    497749834890 Sqrt[2] ArcSec[Sqrt[3]] - 
    248874917445 Sqrt[2] ArcSin[1/6 (4 - Sqrt[2])]))/31850496 *)

N[s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6, 50]
(* 0.0036582630543034854603976004088368426270721405774277 *)

Un poco más de simplificación de los términos trigonométricos:

ArcCsc[3] = π/2-ϕdonde ϕ=ArcCos[1/3], ArcSec[Sqrt[3]]=π/2 - ϕ/2y ArcSin[1/6 (4 - Sqrt[2])] = -π/4 + ϕ. Eso simplifica el resultado a

29902415923/497664 - 50274109/(512 Sqrt[2]) - (3072529845 π)/(32768 Sqrt[2]) +
  (1024176615 ArcCos[1/3])/(4096 Sqrt[2])

o

$$\frac{29902415923}{497664}-\frac{50274109}{512 \sqrt{2}}-\frac{3072529845 \pi }{32768 \sqrt{2}}+\frac{1024176615 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)}{4096 \sqrt{2}}$$

Answer 2

Bueno (de ninguna manera una respuesta real), aquí hay un primer paso interesante para lo que parece ser un problema muy desalentador (pero aparentemente eventualmente solucionable). (Además, debido a las restricciones sociales actuales, mis recursos informáticos personales / domésticos son mínimos).

Si realizamos

T = CoefficientList [Numerador [integrando2], x]

donde, como se indica en la pregunta,

    integrand2 = (9081072000 (1 + x)^8 (x - y)^2 (1 - 2 z)^2 (y - z)^2 (-1 + y + z)^2 (z + x (-1 - y + z))^2 (-1 + z + x (y + z))^2)/((1 + 2 x)^16 (1 + y)^15)  

es el integrando no restringido proporcionado por N. Tessore, obtenemos

Dimensions[T][[1]] = 15 .

Ahora, utilizando los límites de integración simplificados sobre $x$

{x,y,(4 y + z - 3 y z - z^2 + 2 (1 + y) Sqrt[y - y z])/(-1 + y + z)^2}

proporcionado por JimB en su comentario a la pregunta, el comando (consultando la estructura completa - específicamente, el denominador - del integrando2)

W = Integrate[x^i/(1 + 2 x)^16, {x, y, (4 y + z - 3 y z - z^2 + 
  2 (1 + y) Sqrt[y - y z])/(-1 + y + z)^2}, Assumptions -> 1/2 < z < 1 && z < y < 2 + 2 Sqrt[1 - z] - z && i >= 0]

curiosamente rinde

R  =    (1/1307674368000)(( 638512875 y^(-15 + i) Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, -(1/(2 y))])/(32 (15 - i)) + (1/(32 (15 - i))) 638512875 E^(-I i \[Pi]) (-1 + y + z)^(30 - 2 i) (-4 y - 2 y^(3/2) Sqrt[1 - z] - 2 Sqrt[y (1 - z)] - z + 3 y z + z^2)^(-15 + i)Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, (-1 + y + z)^2/(2 (-4 y - 2 y^(3/2) Sqrt[1 - z] - 2 Sqrt[y (1 - z)] - z + 3 y z + z^2))])

Usando Simplify (no estoy seguro de si FullSimplify sería productivo, pero solo lo intenté brevemente), esto se convierte en

 S =   (1/(65536 (15 - i)))(y^(-15 + i) Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, -(1/(2 y))] + E^(-I i \[Pi]) (-1 + y + z)^(30 - 2 i) (-2 y^(3/2) Sqrt[1 - z] - z + z^2 + y (-4 + 3 z) - 2 Sqrt[y - y z])^(-15 + i)Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, -((-1 + y + z)^2/(y (8 - 6 z) + 4 y^(3/2) Sqrt[1 - z] + 2 z - 2 z^2 + 4 Sqrt[y - y z]))])

por $i=0,\ldots,14$, obtenemos, al parecer, funciones racionales - que necesitan ser sumadas - de $y$ y $z$.

Entonces, conceptualmente al menos,

Sum[T[[i]] S/(1+y)^{15}, {i, 0, 14}]

produce el resultado del exterior de las tres integraciones requeridas. Acabo de hacer la suma indicada [LeafCount of 131971], seguida de Together [LeafCount 61470], con denominador

40040 (1 + 2 y)^15 (1 + 6 y + y^2 + 4 y^(3/2) Sqrt[1 - z] + 4 Sqrt[-y (-1 + z)] - 4 y z - z^2)^15

Simplificar en el numerador da LeafCount de 28806. FullSimplify en este resultado solo da LeafCount de 28770.

Ampliando el enfoque anterior, acabo de intentar

WW = Integrate[x^i y^j/((1 + y)^(15) (1 + 2 x)^(16)), {y, z, 2 + 2 Sqrt[1 - z] - z}, {x, y, (4 y + z - 3 y z - z^2 + 2 (1 + y) Sqrt[y - y z])/(-1 + y + z)^2}, Assumptions -> 1/2 < z < 1 && i >= 0 && j >= 0]

para ver si las dos integraciones externas, en lugar de una sola, podrían realizarse de manera similar. Pero fracasado (devuelto sin evaluar).

También podría probar la última integración doble para valores específicos de i y j, $i=0,\ldots,14$, $j=0,\ldots,10$.

---

Acabo de tener un suceso extraño. Comencé un nuevo kernel, ingresé integrand2 y

 T   = CoefficientList[Numerator[integrand2], x]

como anteriormente, y por alguna razón desconocida, obtuve un PolynomialReduce (un comando que nunca había usado, y realmente no entiendo) resultado de

{{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 9081072000 y^4 z^2-18162144000 y^5 z^2 + 9081072000 y^6 z^2 - 18162144000 y^3 z^3 -36324288000 y^4 z^3 + 108972864000 y^5 z^3 - 54486432000 y^6 z^3 [phone] y^2 z^4 + 127135008000 y^3 z^4 - 9081072000 y^4 z^4 -236107872000 y^5 z^4 + 118053936000 y^6 z^4 - 72648576000 y^2 z^5 -345080736000 y^3 z^5 + 236107872000 y^4 z^5 + 217945728000 y^5 z^5 -108972864000 y^6 z^5 + 236107872000 y^2 z^6 + 454053600000 y^3 z^6 -417729312000 y^4 z^6 - 72648576000 y^5 z^6 + 36324288000 y^6 z^6 -399567168000 y^2 z^7 - 290594304000 y^3 z^7 + 290594304000 y^4 z^7 + 372323952000 y^2 z^8 + 72648576000 y^3 z^8 - 72648576000 y^4 z^8 - 181621440000 y^2 z^9 + 36324288000 y^2 z^10}

????????

Answer 3

La respuesta de JimB se basó en la transformación obtenida por N. Tessore mediante la cual el problema de integración originalmente restringido se puede convertir en uno no restringido.

Dado que el análisis original informado en el artículo de 2009 procedió con el problema restringido (la transformación de Tessore solo se informó recientemente), seguía siendo una cuestión de cierta curiosidad, al menos para mí, sobre cómo se podría proceder permaneciendo dentro del marco restringido.

Continuando, emití el comando (usando la transformación {Subscript[\[Lambda], 1] -> x, Subscript[\[Lambda], 2] -> y, Subscript[\[Lambda], 3] -> z}en las variables originales),

GenericCylindricalDecomposition [x> y && y> z && z> 1 - x - y - z && x - z <2 Sqrt [y (1 - x - y - z)], {z, y, x}] [ 2 ]

(donde la restricción original es el primer argumento).

Esto cedió

(1/8 (2 - Sqrt[2]) < z < 1/
6 && ((1 - z - 2 Sqrt[z - 2 z^2] < y < 1/2 (1 - 2 z) && 
   1 - y - 2 z < 
    x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]) || (1/2 (1 - 2 z) < 
    y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]))) || (1/6 < z < 1/
4 && ((z < y < 1/2 (1 - 2 z) && 
   1 - y - 2 z < 
    x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]) || (1/2 (1 - 2 z) < 
    y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]))) || (1/4 < z < 1/3 && z < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z])

El uso de este resultado como restricción en una integración doble posterior sobre {x, 0,1} seguido de {y, 0,1} dio un resultado en z, que expandí y luego apliqué término por término la función

denestSqrt[e_, domain_, x_] := Replace[
y /. Solve[Simplify[Reduce[Reduce[y == e && domain, x], y, Reals], domain], y],
{
{r_} :> r,
_ -> e
}]

dado por Carl Woll en su respuesta a denestSqrt . Los 231 términos individuales obtenidos se integraron luego cada uno sobre z con respecto a cuál de los tres rangos ([1/8 (2 - Sqrt 2 ), 1/6 ], [1 / 6,1 / 4], [1/4 , 1/3]) de z dentro del cual cayeron.

Realizando Expand [FullSimplify [Together []]] en la suma de las 231 integraciones resultantes obtenidas (LeafCount = 222)

29902415923/497664 - 50274109/(512 Sqrt[2]) - (3619006726645466935245 \[Pi])/(82688 Sqrt[2]) + (926465722021570344469365 ArcCot[Sqrt[2]])/(2646016 Sqrt[2]) - (926465722020908726376075 ArcCot[3 + Sqrt[2]])/(2646016 Sqrt[2]) + (1024176615 ArcTan[2/Sqrt[5]])/(16384 Sqrt[2]) + (48882576431592402695 ArcTan[5/(2 Sqrt[14])])/(194055791689728 Sqrt[2]) - (1861973732913175 Sqrt[2]ArcTan[(4 - Sqrt[2])/Sqrt[18 + 8 Sqrt[2]]])/11844225567 - (48882576431592402695 ArcTan[(20 + 5 Sqrt[2] + 4 Sqrt[7] - 8 Sqrt[14])/Sqrt[1458 + 248 Sqrt[2] + 280 Sqrt[14]]])/(194055791689728 Sqrt[2]) + (1024176615 I Log[1/81 (-46 + 10 Sqrt[10] + I Sqrt[5 (689 + 184 Sqrt[10])])])/(16384 Sqrt[2])

que coincide, usando el criterio (sugerido por Bob Hanlon en su comentario en Block Block [{$ MaxExtraPrecision = 1000}, ans1 - ans2 // N [#, 1000] &] - con la respuesta final mucho más simple (LeafCount = 36) de JimB.

29902415923/497664 - 50274109/(512 Sqrt[2]) - (3072529845 π)/(32768 Sqrt[2]) +(1024176615 ArcCos[1/3])/(4096 Sqrt[2]) .

Los dos primeros términos de ambas expresiones coinciden.

Entonces, los últimos ocho términos del primer resultado deben ser simplificables a los dos últimos términos de la última respuesta.

Sin embargo, la función denestSqrt, además de la transformación Tessore, no la conocía en 2009, por lo que todavía sigue siendo un enigma en cuanto a cómo se llevó a cabo por completo esa integración con restricciones 3D. (El resultado también debe haber sido bastante complicado, como lo indica la correspondencia resultante, anotada en el enunciado de la pregunta, con V. Jovovic con respecto a las transformaciones basadas en la relación cos (n * phi) = a (n) / 3 ^ n, donde phi = ArcCos (1/3).)