Expectativa condicional con condicionamiento múltiple
Para cualquier autocaravana$X$y$Y$:
$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$
Pero parece que no puedo probar esto. Intenté usar la Ley de Adán con condicionamiento adicional ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) pero no parece que llegue a ninguna parte con eso.
Lo que probé es lo siguiente:
$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$Desde el evento$X$pasó y$g(X)$ocurrido son equivalentes, condicionando a ambos$X$y$g(X)$es lo mismo que condicionar a uno solo de ellos. ¿Hay alguna interpretación intuitiva de esto?
¿Significa esto también que el condicionamiento en$X$o cualquier función$g$de$X$es el mismo ?
Respuestas
Este es un caso especial de la Propiedad de la Torre de las Expectativas Condicionales, que afirma que si$\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$después$$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$Usa la segunda de estas igualdades, con$\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$y$\mathcal F_2=\sigma(X)$.
El argumento que ya tiene es un argumento bastante bueno de la teoría de la no medida. Solo formalizaré eso a continuación, puede ayudar a dar confianza sobre algunos detalles.
Usando la estructura de su argumento: Sea$g(X)=E[Y|X]$. Después\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}donde (a) usa la ley de expectativas iteradas; (b) usos$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) usos$E[Z|Z]=Z$para cualquier variable aleatoria$Z$.$\Box$
El paso (b) examinado más de cerca es:$$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$y esto intuitivamente significa que si ya sabemos$X$, entonces la información adicional$g(X)$no agrega nada nuevo.
Notas:
Condicionando en$X$generalmente no es lo mismo que condicionar$g(X)$, pero funciona en este problema en particular.
Se podría dar una derivación de la teoría de la medida en la línea de mi primer comentario sobre su respuesta. También puedes justificar$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$más formalmente por la teoría de la medida ("el álgebra sigma generada por$(g(X),X)$es lo mismo que el álgebra sigma generada por$X$").
Una definición formal de la teoría de la medida habla de "versiones de" una expectativa condicional, y no entro en tantos detalles en esta respuesta (algunas personas pueden querer reemplazar mis igualdades con igualdades que tienen "con probabilidad 1").