Expectativa condicional con condicionamiento múltiple

Aug 17 2020

Para cualquier autocaravana$X$y$Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

Pero parece que no puedo probar esto. Intenté usar la Ley de Adán con condicionamiento adicional ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) pero no parece que llegue a ninguna parte con eso.

Lo que probé es lo siguiente:

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$Desde el evento$X$pasó y$g(X)$ocurrido son equivalentes, condicionando a ambos$X$y$g(X)$es lo mismo que condicionar a uno solo de ellos. ¿Hay alguna interpretación intuitiva de esto?

¿Significa esto también que el condicionamiento en$X$o cualquier función$g$de$X$es el mismo ?

Respuestas

1 JohnDawkins Aug 16 2020 at 23:58

Este es un caso especial de la Propiedad de la Torre de las Expectativas Condicionales, que afirma que si$\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$después$$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$Usa la segunda de estas igualdades, con$\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$y$\mathcal F_2=\sigma(X)$.

1 Michael Aug 16 2020 at 23:03

El argumento que ya tiene es un argumento bastante bueno de la teoría de la no medida. Solo formalizaré eso a continuación, puede ayudar a dar confianza sobre algunos detalles.

Usando la estructura de su argumento: Sea$g(X)=E[Y|X]$. Después\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}donde (a) usa la ley de expectativas iteradas; (b) usos$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) usos$E[Z|Z]=Z$para cualquier variable aleatoria$Z$.$\Box$


El paso (b) examinado más de cerca es:$$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$y esto intuitivamente significa que si ya sabemos$X$, entonces la información adicional$g(X)$no agrega nada nuevo.


Notas:

  • Condicionando en$X$generalmente no es lo mismo que condicionar$g(X)$, pero funciona en este problema en particular.

  • Se podría dar una derivación de la teoría de la medida en la línea de mi primer comentario sobre su respuesta. También puedes justificar$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$más formalmente por la teoría de la medida ("el álgebra sigma generada por$(g(X),X)$es lo mismo que el álgebra sigma generada por$X$").

  • Una definición formal de la teoría de la medida habla de "versiones de" una expectativa condicional, y no entro en tantos detalles en esta respuesta (algunas personas pueden querer reemplazar mis igualdades con igualdades que tienen "con probabilidad 1").