Función generadora de probabilidad de Zn

Question

Dada la siguiente función generadora de probabilidad:

$G(s)=1-α(1-s)^β$

dónde$0≤α≤1$y$0$<$ β≤1$.

¿Podemos derivar la función generadora de probabilidad?$G_n(s)$de la variable aleatoria$Z_n$en la notación usual donde$G_n(s)=G(G_{n-1}(s))$y así hallar una expresión para$P(Z_n=0), P(Z_n=1)$, y$P(Z_n=2)$?

Traté de encontrar$E[Z]$por encontrar$G'(1)$pero terminó con$αβ(1-s)^{β-1}$, dónde$(1-s)$será 0 y$\beta -1 ≤ 0$haciéndolo indefinido.

Sin embargo, pude encontrar la probabilidad de extinción final (tratando esto como un proceso de ramificación) como una serie geométrica en potencia de$\alpha$dentro:

$G_n(0) = 1-\alpha ^{\frac{1- \beta ^n}{1-\beta}}$

Pero no estoy seguro de cómo eso sería útil para determinar el PGF de$Z_n$y las respectivas probabilidades.

Answer 1

Usando inducción en$n$, obtienes fácilmente$G_n(s)=1-\alpha^{(1-\beta^n)/(1-\beta)}(1-s)^{\beta^n}$(lectura$1-\alpha^n(1-s)$por$\beta=1$). En cuanto a los valores esperados, tienes un resultado correcto; estos no existen (es decir, son$\infty$) si$\beta<1$.