Gavilla de la gavilla constante

Question

Estoy leyendo sobre la gavilla, pero es demasiado abstracto para mí. Estoy tratando de resolver el ejemplo de la gavilla de una gavilla constante y mi asesor me da este ejemplo:$X$ ser un espacio topológico y $A$ser un grupo abeliano. Dejar$\mathfrak{A}^+$ ser la gavilla de funciones continuas, es decir $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ dónde $A$ tiene la topología discreta, para cada conjunto abierto $U$. Hay 3 cosas que quiere que le muestre:

(1) $\mathfrak{A}^+$ es un haz de grupos abelianos.

(2) Todos los tallos $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) El mapa natural $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ de la gavilla constante induce un isomorfismo en los tallos

(1) es fácil ya que una función es $0$ si es $0$en la zona. Creo que (2) y (3) deberían ser fáciles ya que no tenemos mucha información, pero extrañamente no sé cómo usarlos.

En (2), conozco los mapas $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ cuando $V\subseteq U$es solo una restricción. Por definición, el tallo$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Pero, ¿cómo se convierte la definición (grupo de funciones continuas) a$A$? Incluso siento que carecemos de información aquí, ya que ni siquiera conocemos la estructura de los conjuntos abiertos en$X$, y no veo ningún mapa natural desde el límite directo hasta $A$.

(3) es aún más ambiguo para mí. Decir$U$Esta abierto. ¿Cómo mapeas naturalmente un elemento en$A=\mathfrak{A}$, a una función $U\to A$ en $\mathfrak{A}^+$? Sé que los mapas satisfacen un diagrama, así que$f_U(a)|_V=f_V(a)$ dónde $V\subseteq U$son conjuntos abiertos. Según (2), los tallos de ambos son$A$, pero no creo que el mapa inducido sea la identidad, por lo que me resulta más difícil entender por qué esto es una iso.

Solo soy un principiante en geometría algebraica, por lo que estas preguntas pueden ser obvias. Gracias.

Answer 1

(1) Mucho más en general (¡y por lo tanto mucho más fácil!):
Dado un espacio topológico arbitrario$Y$ hay una gavilla $\mathcal C_Y$ en $X$ caracterizado por el requisito de que para cualquier subconjunto abierto $U\subset X$ tenemos $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, el conjunto de funciones continuas $U\to Y$.
Tu$ \mathfrak A^+$ es exactamente la gavilla $\mathcal C_A$, dónde $A$ está dotado de la topología discreta.

(2) Tenemos un morfismo de grupos abelianos. $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ definido como sigue: dado un germen $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ lo representamos por alguna función continua $g:U\to A$ y definimos $i(\gamma)=g(x)$.
Este morfismo es un isomorfismo ya que tiene como inverso explícito el morfismo grupal$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ enviando $a\in A$ a $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, el germen en $x$ de la función constante $\operatorname {const}(a): X\to A$ enviando cualquier punto de $X$ a $a$.

(3) Para cualquier barrio $U\subset X$ de $x$ el mapa $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ es claramente inyectivo, y por lo tanto, tomando límites directos al mapa $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$también es inyectable.
La sobrejetividad también es fácil: en la notación de (b) un germen$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ es la imagen debajo $f$ del germen $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
Y así hemos probado que el morfismo$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ es de hecho biyectiva.