Gcd de función lineal

Question

$\DeclareMathOperator\gcd{gcd}$Llevar $q\in \mathbb N$ y $X>0$ ($q$ no necesariamente más pequeño que $X$). Una suma como$$\sum_{d\leq X}(q,d)$$ se ve fácilmente como $\ll q^\epsilon (X+q)$ para que el gcd no haga la suma mucho mayor de lo que sería sin él, los valores para los cuales $(q,d)$ son significativas son raras.

Si tengo en cambio una suma como $$\sum_{dd'\leq X}(q,d+d')$$ ¿Puedo todavía concluir un límite similar, pensando que el $d+d'$ debe dar como "valores aleatorios" a $(q,d+d')$ como se hizo $d$ a $(q,d)$? ¿O es esta la forma completamente incorrecta de pensar en ello?

Por supuesto, es similar a preguntar sobre $$\sum_{\substack{dd'\leq X\\q\mid d+d'}}1$$ que parece bastante fácil, pero todavía estoy un poco inseguro ... ¿es esto incluso $\ll (qX)^\epsilon (X/q+1)$?

Answer 1

1. Tenemos$$\sum_{\substack{dd'\leq X\\q\mid d+d'\\d\leq d'}}1 =\sum_{d\leq\sqrt{X}}\sum_{\substack{d'\leq X/d\\q\mid d+d'\\d\leq d'}}1 \leq\sum_{d\leq\sqrt{X}}\sum_{\substack{c\leq 2X/d\\q\mid c}}1 \leq\sum_{d\leq\sqrt{X}}\frac{2X}{qd}<\frac{2X(1+\log\sqrt{X})}{q}.$$ Obtenemos el mismo límite cuando los roles de $d$ y $d'$ se intercambian, por lo tanto, al final $$\sum_{\substack{dd'\leq X\\q\mid d+d'}}1<\frac{2X(2+\log X)}{q}\ll_\epsilon\frac{X^{1+\epsilon}}{q}.$$

2. De la última desigualdad inferimos$$\sum_{dd'\leq X}(q,d+d')\leq \sum_{r\mid q}r\sum_{\substack{dd'\leq X\\r\mid d+d'}}1 \ll_\epsilon\sum_{r\mid q}r\frac{X^{1+\epsilon}}{r}\ll_\epsilon (qX)^\epsilon X.$$