Generalización de la función The Liouville Lambda

Question

Dejar $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ y definir $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ dónde $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ y $[\cdot]$ es la función de piso.

Xa $k=1$, $\lambda_1$es la función Lambda de Liouvilles. Xa$k=2$:

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

-¿Se sabe algo sobre esta función?

-Si por $\Re(s)>1$ definimos $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

¿Existe alguna conexión entre $L_{\lambda_2}(s)$ y los ceros de la función zeta de Riemann?

-Supongo (sin saber probar) que $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ similar a $\lambda_1$ ¿Deberíamos esperar la cancelación de la raíz cuadrada en la suma de $\lambda_2$ ¿también?

Answer 1

Consideremos el caso $k=2$; puede intentar generalizar este argumento para mayores$k$. Xa$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ Esto se puede expresar como $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$y ahora se puede utilizar Selberg - Delange. Esto mostrará una expansión asintótica para$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$, y el término principal en el asintótico es $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ para una constante adecuada $C$. Por lo tanto, puede encontrar una asintótica para su suma, que será de la forma$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ para constantes adecuadas $A$ y $B$. ¡Extraño! ¡Pero también estás mirando un objeto extraño!