Grupos de Diffie Hellman

Question

Vi que los enteros no negativos con la operación de suma no pueden ser el grupo Diffie Hellman. Tengo problemas para entender por qué no puede ser el grupo DHKE. Para ser un grupo DHKE, hay cinco propiedades que se mantendrán,

1. El operador está cerrado
2. asociatividad
3. el elemento de identidad existe
4. existe el elemento inverso
5. conmutatividad

Intenté con el grupo de {0,1,2,3,4,5,6} yp = 7, y todas las propiedades anteriores se mantuvieron. No pude encontrar ningún ejemplo apropiado para mostrar que las propiedades anteriores no se mantienen. ¿Qué otros ejemplos pueden mostrar que el operador de números enteros no negativos con suma no es uno de los grupos de claves de Diffie Hellman?

Answer 1

Para ser un grupo DHKE, hay cinco propiedades que se mantendrán,

Esto es verdad; sin embargo, para ser un grupo DHKE seguro , debe haber una propiedad adicional:

• El "problema del registro discreto" debe ser difícil; es decir, dado un valor público$xG$ (dónde $G$ es el identificador de grupo público, $x$ es su valor privado, y $xG$ ¿El generador actúa sobre sí mismo? $x$ veces), es difícil recuperarse $x$.

En el caso de la suma, tenemos $xG = \underbrace{G + G + … + G}_{x \text{ times}} = x \times G$., dónde $\times$ es la multiplicación de enteros.

Si sabemos $x \times G$ y sabemos $G$, entonces es fácil de recuperar $x$ haciendo una división simple (división modular si estamos haciendo la suma módulo $p$, que no es mucho más difícil) y, por lo tanto, Diffie-Hellman sería trivialmente inseguro.

En realidad, no basta con tener un problema de registro discreto seguro; el problema "Diffie-Hellman" también debe ser difícil, es decir, dado$G$, $xG$ y $yG$, debería ser difícil de recuperar $xyG$ (esto se conoce como el problema computacional de Diffie Hellman), o dado $G$, $xG$, $yG$, $zG$, debería ser difícil determinar si $xy = z$(esto se conoce como el problema decisional de Diffie Hellman). Cualquiera de estos problemas puede ser más fácil que el "problema de registro discreto" para cualquier grupo; sin embargo, además, ninguno de estos problemas es difícil.