Invariantes base-exponente
Una suma de potencias se llama invariante base-exponente si su valor no cambia si se cambian cada base y exponente. El ejemplo más simple es$2^4$, que por supuesto es igual a $4^2$. Otro invariante base-exponente es
$$2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4}=5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5}$$
Hay muchos otros ejemplos con $5$sumandos conocidos. (https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0608.html.)
Nos interesan los invariantes base-exponente en los que todas las bases y exponentes son enteros al menos $2$, y donde no aparece ninguna potencia más de una vez, incluso después de que se hayan cambiado las bases y los exponentes. Hay una suma de$2$, $3$o $4$ potencias que es un invariante base-exponente?
También estoy interesado en una expresión general de suma de potencias que involucre una variable que aún permanece verdadera si se cambian las bases y los exponentes, lo que lleva a un número infinito de ejemplos de una longitud determinada. Dean Hickerson encontró que esta expresión implicaba una suma de$20$ poderes que funcionan:
$$ 2^{2n} + 2^{2n+8}+ 2^{2n+16} + 2^{2n+32} + 2^{2n+34} + 4^{n+1} + 4^{n+2} + 4^{n+10} + 4^{n+14} + 4^{n+18} + n^{4} + (n+4)^{4} + (n+8)^{4} + (n+16)^{4} + (n+17)^{4} + (2n+2)^{2} + (2n+4)^{2} + (2n+20)^{2} + (2n+28)^{2} + (2n+36)^{2} $$
¿Existe tal expresión que involucre menos de $20$ ¿potestades?
Respuestas
Esta es una respuesta parcial :
Propongo una definición y presento conjeturas basadas en cálculos extensos.
Me gustaría proponer la siguiente definición:
$n\in\mathbb N$es una suma invariante de base-exponente = número fuertemente invariante de potencia (SPIN) , si es una suma invariante de exponenciación de potencias perfectas únicas no invariantes:
$$ n=\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{b_{i}}=\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{a_{i}}, \quad a_{i}>1, b_{i}>1, \quad a_{i}^{b_{i}} \neq b_{i}^{a_{i}}, \quad\left(i \neq j \Longrightarrow\left\{a_{i}, b_{i}\right\} \neq\left\{a_{j}, b_{j}\right\}\right) $$
Por ejemplo, el SPIN más pequeño tiene $k=6$ términos en la suma y es igual a:
$$\begin{align} 432 &= 3^{2}+5^{2}+2^{6}+3^{4}+5^{3}+2^{7} \\&= 2^{3}+2^{5}+6^{2}+4^{3}+3^{5}+7^{2}. \end{align}$$
Algunos números $n$corresponden a más de una suma. Por ejemplo:
$$ \begin{align} 1554&=3^{2}+7^{2}+6^{3}+2^{8}+4^{5} \\ &=2^{3}+2^{7}+3^{6}+8^{2}+5^{4}, \\ 1554&=3^{2}+5^{2}+2^{6}+10^{2}+2^{7}+3^{5}+2^{8}+3^{6}\\ &=2^{3}+2^{5}+6^{2}+2^{10}+7^{2}+5^{3}+8^{2}+6^{3}. \end{align} $$
$1554$ es igual a uno $5$-suma a plazo y a uno $8$-suma a plazo.
Hasta $n\le 10^4$, existen $887$ SPINs (contando duplicados), https://pastebin.com/5ArkFif4.
Pero, estamos interesados en ejemplos donde $k$ - el número de términos (sumandos), es pequeño.
$(k\le 5)$ plazo SPIN
Hasta $n\le 10^{20}$, solo hay $14$ SPINs con $5$ o menos términos, y todos tienen $5$ condiciones:
$$\begin{array}{} 1422 &= 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5} &= 2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4} \\ 1464 &= 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 5^{4} + 3^{6} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 4^{5} + 6^{3} \\ 1554 &= 2^{3} + 8^{2} + 2^{7} + 5^{4} + 3^{6} &= 3^{2} + 2^{8} + 7^{2} + 4^{5} + 6^{3} \\ 2612 &= 5^{2} + 6^{2} + 11^{2} + 3^{5} + 3^{7} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{11} + 5^{3} + 7^{3} \\ 3127 &= 2^{3} + 6^{3} + 7^{3} + 2^{9} + 2^{11} &= 3^{2} + 3^{6} + 3^{7} + 9^{2} + 11^{2} \\ 4481 &= 6^{2} + 10^{2} + 11^{2} + 2^{7} + 4^{6} &= 2^{6} + 2^{10} + 2^{11} + 7^{2} + 6^{4} \\ 5644 &= 9^{2} + 10^{2} + 7^{3} + 4^{5} + 4^{6} &= 2^{9} + 2^{10} + 3^{7} + 5^{4} + 6^{4} \\ 16122 &= 2^{3} + 4^{3} + 13^{2} + 2^{8} + 5^{6} &= 3^{2} + 3^{4} + 2^{13} + 8^{2} + 6^{5} \\ 68521 &= 8^{2} + 5^{4} + 10^{3} + 6^{4} + 4^{8} &= 2^{8} + 4^{5} + 3^{10} + 4^{6} + 8^{4} \\ 77129 &= 12^{2} + 16^{2} + 6^{4} + 4^{7} + 3^{10} &= 2^{12} + 2^{16} + 4^{6} + 7^{4} + 10^{3} \\ 82583 &= 5^{2} + 3^{4} + 16^{2} + 2^{12} + 5^{7} &= 2^{5} + 4^{3} + 2^{16} + 12^{2} + 7^{5} \\ 1065585 &= 9^{2} + 12^{2} + 20^{2} + 4^{7} + 4^{10} &= 2^{9} + 2^{12} + 2^{20} + 7^{4} + 10^{4} \\ 4227140 &= 13^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 5^{6} + 2^{22} &= 2^{13} + 4^{7} + 4^{11} + 6^{5} + 22^{2} \\ 6164560 &= 18^{2} + 7^{5} + 5^{9} + 2^{21} + 8^{7} &= 2^{18} + 5^{7} + 9^{5} + 21^{2} + 7^{8} \end{array}$$
donde el más grande es más pequeño que $10^7 \ll 10^{20}$.
Conjetura: No hay SPIN con menos de$5$ condiciones.
Conjetura: Hay exactamente$14$ Gira exactamente $5$ condiciones.
Probablemente esto sea difícil de probar.
Por ejemplo, un problema similar a $k=2$ fue vinculado por https://math.stackexchange.com/q/3795656/318073#comment7868924_3795656; que todavía está abierto:https://math.stackexchange.com/q/3286093/318073. Es decir,$k=2$ es equivalente al problema vinculado pero para $a^b-b^a$ en lugar:
$$ a^b+c^d=b^a+d^c \iff a^b-b^a = d^c - c^d. $$
$(k\ge 6)$ plazo SPIN
Conjetura: Para cualquier fijo$k\ge 6$, hay infinitos $k$-término SPIN.
Es decir, lo conocido $20$-familia de término:
$$ n(t) = 2^{2t} + 2^{2t+8}+ 2^{2t+16} + 2^{2t+32} + 2^{2t+34} + 4^{t+1} + 4^{t+2} + 4^{t+10} + 4^{t+14} + 4^{t+18} + t^{4} + (t+4)^{4} + (t+8)^{4} + (t+16)^{4} + (t+17)^{4} + (2t+2)^{2} + (2t+4)^{2} + (2t+20)^{2} + (2t+28)^{2} + (2t+36)^{2} $$
da un $20$-término SPIN para cada $t\gt 4$, pero digo que un $6$-término familia $n(t_1,t_2,\dots)$ existe.
Pero esto probablemente también sea difícil de mostrar.
En mis intentos por encontrar una familia así, encontré un "tipo especial" de $k=6$ ejemplos.
$(k = 6)$ SPIN a término, de tipo especial
Hasta $n\le 10^{10}$, existen $101$ SPINs con $6$ condiciones; https://htmlpreview.github.io/?https://github.com/virv/SPIN/blob/master/SPINs.html.
De hecho, es posible encontrar ejemplos muy grandes de $k=6$. Por ejemplo,
$$ n^* = 2^5 + 11^2 + 2^{28} + 52^2 + 8192^4 + 2^{16384} = 5^2 + 2^{11} + 28^2 + 2^{52} + 4^{8192} + 16384^2 $$
tiene $4933$ dígitos decimales (es mayor que $n^*\gt 10^{4932}$).
Esto se pudo encontrar buscando un "tipo especial" de $6$-término SPIN:
$$ n^{*}=\sum_{i=1}^4a_i^{b_i} + x^4 + 2^{2x} =\sum_{i=1}^4b_i^{a_i} + 4^x + (2x)^2 $$
que son numerosos porque $|(4^x-x^4) - ((2x)^2-2^{2x})|$es "bastante pequeño" . Es decir,
cuando estaba buscando un $k=2$ ejemplo, estaba tratando de minimizar el "error":
$$|(a_1^{b_1}-b_1^{a_1})-(a_2^{b_2}-b_2^{a_2})|$$
por un primer término fijo $i=1$ y encontrar el segundo término más pequeño más cercano $i=2$.
En el diagrama logarítmico de "error" s por primera vez $1000$ condiciones $(a_i^{b_i}-b_i^{a_i})$ encontramos:
ese $\{a_1,b_1\}=\{4,x\}$ y $\{a_2,b_2\}=\{2x,2\}$tienen los "errores" más pequeños. Es decir, observe el arco de puntos ("errores") más cercano al eje x, que coloreé en verde.
Estos errores a veces se pueden reducir a $0$ añadiendo $4$ términos adicionales, lo que da una $6$-Término ejemplo de este "tipo especial" $n^{*}$.
Hasta $n^{*}\le 10^{20}$, existen $41$ de estos "tipos especiales" $6$-término SPIN:
$$\begin{align} 3^{2} + 5^{2} + 2^{7} + 5^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{3} + 2^{5} + 7^{2} + 3^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{5} + 3^{4} + 5^{3} + 9^{2} + 5^{4} + 2^{10} &=& 5^{2} + 4^{3} + 3^{5} + 2^{9} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 3^{4} + 6^{2} + 6^{3} + 5^{4} + 2^{10} &=& 3^{2} + 4^{3} + 2^{6} + 3^{6} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 7^{3} + 8^{3} + 5^{6} + 3^{4} + 2^{6} &=& 3^{2} + 3^{7} + 3^{8} + 6^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 5^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 11^{2} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{5} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{11} + 4^{7} + 14^{2} \\ 7^{2} + 4^{6} + 2^{14} + 9^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{7} + 6^{4} + 14^{2} + 3^{9} + 4^{3} + 6^{2} \\ 6^{2} + 2^{8} + 2^{9} + 6^{4} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{6} + 8^{2} + 9^{2} + 4^{6} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{7} + 6^{5} + 13^{2} + 4^{7} + 3^{4} + 2^{6} &=& 7^{3} + 5^{6} + 2^{13} + 7^{4} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{3} + 7^{2} + 2^{8} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 3^{2} + 2^{7} + 8^{2} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 3^{2} + 5^{2} + 3^{5} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{3} + 2^{5} + 5^{3} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 8^{2} + 5^{4} + 4^{6} + 8^{3} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{8} + 4^{5} + 6^{4} + 3^{8} + 4^{8} + 16^{2} \\ 2^{6} + 9^{2} + 5^{7} + 8^{4} + 5^{4} + 2^{10} &=& 6^{2} + 2^{9} + 7^{5} + 4^{8} + 4^{5} + 10^{2} \\ 5^{3} + 8^{3} + 7^{5} + 2^{16} + 7^{4} + 2^{14} &=& 3^{5} + 3^{8} + 5^{7} + 16^{2} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{2} + 2^{11} + 2^{13} + 14^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{3} + 11^{2} + 13^{2} + 2^{14} + 4^{9} + 18^{2} \\ 9^{2} + 7^{3} + 5^{7} + 16^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{9} + 3^{7} + 7^{5} + 2^{16} + 4^{9} + 18^{2} \\ 6^{3} + 3^{7} + 2^{13} + 9^{3} + 10^{4} + 2^{20} &=& 3^{6} + 7^{3} + 13^{2} + 3^{9} + 4^{10} + 20^{2} \\ 2^{9} + 6^{4} + 3^{10} + 16^{2} + 10^{4} + 2^{20} &=& 9^{2} + 4^{6} + 10^{3} + 2^{16} + 4^{10} + 20^{2} \\ 3^{2} + 3^{4} + 8^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{3} + 4^{3} + 2^{8} + 4^{7} + 4^{11} + 22^{2} \\ 7^{2} + 2^{10} + 2^{12} + 9^{3} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{7} + 10^{2} + 12^{2} + 3^{9} + 4^{11} + 22^{2} \\ 11^{2} + 12^{2} + 13^{2} + 7^{4} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{11} + 2^{12} + 2^{13} + 4^{7} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{2} + 4^{7} + 2^{14} + 10^{3} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{5} + 7^{4} + 14^{2} + 3^{10} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{3} + 4^{7} + 9^{3} + 15^{2} + 14^{4} + 2^{28} &=& 3^{5} + 7^{4} + 3^{9} + 2^{15} + 4^{14} + 28^{2} \\ 7^{2} + 8^{3} + 2^{17} + 7^{6} + 14^{4} + 2^{28} &=& 2^{7} + 3^{8} + 17^{2} + 6^{7} + 4^{14} + 28^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 3^{8} + 10^{3} + 15^{4} + 2^{30} &=& 9^{2} + 7^{3} + 8^{3} + 3^{10} + 4^{15} + 30^{2} \\ 5^{4} + 6^{4} + 7^{4} + 15^{2} + 15^{4} + 2^{30} &=& 4^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 2^{15} + 4^{15} + 30^{2} \\ 3^{4} + 9^{2} + 8^{3} + 10^{3} + 16^{4} + 2^{32} &=& 4^{3} + 2^{9} + 3^{8} + 3^{10} + 4^{16} + 32^{2} \\ 13^{2} + 3^{9} + 6^{7} + 9^{4} + 17^{4} + 2^{34} &=& 2^{13} + 9^{3} + 7^{6} + 4^{9} + 4^{17} + 34^{2} \\ 2^{8} + 8^{3} + 15^{2} + 16^{2} + 18^{4} + 2^{36} &=& 8^{2} + 3^{8} + 2^{15} + 2^{16} + 4^{18} + 36^{2} \\ 2^{5} + 6^{2} + 2^{11} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 5^{2} + 2^{6} + 11^{2} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 4^{3} + 2^{7} + 3^{7} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 3^{4} + 7^{2} + 7^{3} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 5^{6} + 5^{7} + 16^{2} + 7^{6} + 20^{4} + 2^{40} &=& 6^{5} + 7^{5} + 2^{16} + 6^{7} + 4^{20} + 40^{2} \\ 5^{3} + 6^{4} + 7^{4} + 11^{3} + 21^{4} + 2^{42} &=& 3^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 3^{11} + 4^{21} + 42^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 15^{2} + 8^{5} + 25^{4} + 2^{50} &=& 9^{2} + 7^{3} + 2^{15} + 5^{8} + 4^{25} + 50^{2} \\ 2^{8} + 2^{13} + 4^{8} + 19^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 8^{2} + 13^{2} + 8^{4} + 2^{19} + 4^{26} + 52^{2} \\ 2^{17} + 9^{4} + 4^{24} + 48^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 17^{2} + 4^{9} + 24^{4} + 2^{48} + 4^{26} + 52^{2} \\ 17^{2} + 4^{9} + 4^{26} + 52^{2} + 24^{4} + 2^{48} &=& 2^{17} + 9^{4} + 26^{4} + 2^{52} + 4^{24} + 48^{2} \\ 5^{2} + 2^{11} + 9^{4} + 8^{5} + 28^{4} + 2^{56} &=& 2^{5} + 11^{2} + 4^{9} + 5^{8} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{7} + 10^{3} + 4^{10} + 13^{3} + 28^{4} + 2^{56} &=& 7^{2} + 3^{10} + 10^{4} + 3^{13} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{8} + 2^{11} + 13^{2} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 8^{2} + 11^{2} + 2^{13} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ 6^{2} + 2^{10} + 4^{6} + 20^{2} + 32^{4} + 2^{64} &=& 2^{6} + 10^{2} + 6^{4} + 2^{20} + 4^{32} + 64^{2} \\ 5^{3} + 2^{19} + 12^{3} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 3^{5} + 19^{2} + 3^{12} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ \end{align}$$
Parece que hay infinitos ejemplos de estos "tipos especiales".
También parece que hay infinitamente más $6$-término SPIN (que no son de "tipo especial").
Pero, de nuevo, esto probablemente sea difícil de probar.
Probablemente también podríamos generar muchos ejemplos considerando el "segundo mejor arco" por encima del arco verde, y así sucesivamente. Además, podemos intentar observar los errores más pequeños para$k\gt 2$, y tratar de extenderlos a más ejemplos y a ejemplos de $k\gt 6$.
Pero para $k\le 5$, los errores parecen ser demasiado grandes para que existan ejemplos grandes.