Jacobiano de transformación

Question

En Bayesian Data Analysis , PDF de libre acceso , sección 4.1 (página 84, parte inferior) hay un comentario que dice:

Si, en cambio, hubiéramos construido la aproximación normal en términos de $p(\mu, \sigma^2)$, la segunda matriz derivada se multiplicaría por el jacobiano de la transformación de $\log\sigma$ a $\sigma^2$ y el modo cambiaría ligeramente, a $\tilde{\sigma}^2 = \frac{n}{n+2}\hat{\sigma}^2$.

Mi pregunta es cómo calculamos el jacobiano a partir de $\log\sigma$ a $\sigma^2$? Puedo diferenciar una función con respecto a la otra, pero no puedo conciliar el cambio de modo indicado (lo que me hace pensar que estoy equivocado).

Gracias por adelantado

Answer 1

Para la transformación de parámetros$$\eta\longmapsto\sigma^2=\exp\{2\eta\}$$el jacobiano es $$\frac{\text d\sigma^2}{\text d\eta}=2\exp\{2\eta\}=2\sigma^2$$y los cambios posteriores de $p(\mu,\eta)$ dentro$$p^\prime(\mu,\sigma^2)=p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\times \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2} = p(\mu,\log(\sigma^2)/2) \frac{1}{2\sigma^2}$$que modifica la ubicación del modo: $$\arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\ne \arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\frac{1}{2\sigma^2}$$ A saber, $$\hat\sigma^2 = \arg\max_{\sigma^2} \left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\right\}$$ versus $${\tilde\sigma}^2 = \arg\max_{\sigma^2}\left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\underbrace{-\log \sigma^2}_{+\log \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2}}\right\}=\frac{n}{n+2}\hat\sigma^2$$