La intersección de Regular Open es Regular Open

Question

A continuación se muestra una pregunta y mi intento de solución. Vi esta pregunta antes, pero alguien adoptó un enfoque más "puntual", sin embargo, no pensé que ese enfoque fuera necesario. Por lo tanto, me pregunto si la siguiente prueba / solución es correcta.

Dejar $U$ y $V$ ser Regular Open, es decir $U = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U)$ y $V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Muestre que la intersección de$U$ y $V$ es Regular Open, es decir $U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V)$.

(mi) Solución: para cualquier conjunto$U$ y $V$ tenemos eso $\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V)$. Por la monotonicidad del interior tenemos$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V))$. Dado que las intersecciones se conservan con respecto al interior, tenemos que$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Ya que$U$ y $V$ son Regular Open tenemos lo siguiente:

$$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq U \cap V. \quad (i)$$

Para la otra inclusión, tenga en cuenta que para cualquier conjunto $U$ y $V$ tenemos eso $U \cap V \subseteq \operatorname{cl}(U \cap V) \quad (*)$. Ya que$U$ y $V$ son Regular Open, están abiertos, por lo tanto, $U \cap V$Esta abierto. Por tanto, podemos escribir$U \cap V = \operatorname{int}(U \cap V)$. Por$(*)$ tenemos eso $U \cap V \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U \cap V))$. Por tanto, podemos escribir$$U \cap V \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V). \quad (ii)$$

Por ambos $(i)$ y $(ii)$ lo siguiente sostiene $$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V),$$ como se desee.

Answer 1

Sí, la prueba está bien.

De hecho, solo una inclusión utiliza el hecho de que $U$ y $V$ ellos mismos están abiertos regularmente.

Mi argumento resumido: como $U$ y $V$ son regulares abiertos

$$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl} U \cap \operatorname{int} \operatorname{cl} V\tag{1}$$

y como respeto interior $\cap$ (tal como el cierre respeta $\cup$) mientras que para el cierre tenemos $\operatorname{cl}( A \cap B) \subseteq \operatorname{cl} A \cap \operatorname{cl} B$ para todos $A,B$ (el lado derecho está cerrado y contiene $A \cap B$ así también su cierre) obtenemos:

$$ U \cap V = \operatorname{int}( \operatorname{cl} U \cap \operatorname{cl} V) \supseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{2}$$

Como $U \cap V$ está abierto y un subconjunto de $\operatorname{cl}( U \cap V)$ trivialmente:

$$U \cap V \subseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{3}$$

y $(2)$ y $(3)$ combinados muestran el resultado.