Ley de Morrie con senos

Question

Si bien es trivial de demostrar $\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^kx)=\frac{\sin(2^nx)}{2^n\sin x}$, Wikipedia se refiere a una identidad "similar" $\sin\tfrac{\pi}{9}\sin\tfrac{2\pi}{9}\sin\tfrac{4\pi}{9}=\frac{\sqrt{3}}{8}$. ¿Cómo se generaliza esto a un resultado para$\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$? Si eso falla, ¿cómo probamos este caso especial?

Answer 1

Puedo mostrarte una prueba de identidad similar, pero no conozco una fórmula general para $\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$.

Según Mostrando$\sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}} = \frac{\sqrt{13}}{64}$, tenemos eso $$\prod _{k=1}^{n-1}\,\sin \left({\frac {k\pi }{n}} \right)=\frac{n}{2^{n-1}} .$$ por $n=9$, por simetría, tenemos que $$\left(\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)\right)^2\underbrace{\sin^2\left({\frac {\pi }{3}}\right)}_{3/4}=\prod _{k=1}^{8}\,\sin \left({\frac {k\pi }{9}} \right)=\frac{9}{256} $$ y se sigue que $$\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)=\sqrt{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt{3}}{8}.$$ De manera similar, para $n=7$, mostramos que $$\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{7}}\right)=\frac{\sqrt7}{8}.$$