Los "elementos" de un número real
Esta pregunta es esencialmente una paráfrasis de una pregunta separada (eliminada), que habla de un comentario de Asaf Karagila sobre los "elementos de$\pi$".
Soy consciente de cómo los números naturales pueden verse como conjuntos , por ejemplo$3$ puede verse como el conjunto $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, también tiene elementos $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Esto parece bastante concreto y natural.
Puedo ver que podemos adaptar esto para tratar con los números enteros, por ejemplo, agregando un segundo conjunto vacío como un elemento "marcador" (por lo que $-3$ corresponde a $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$). También puedo ver que podemos adaptar esta idea de "marcador" para tratar con los números racionales (que son pares de enteros, y "marcamos" el de arriba y el de abajo de cierta manera). Sin embargo, ya me estoy poniendo nervioso aquí porque esto parece mucho más sintético que cómo vimos los números naturales.
De todas formas. No me queda claro cómo un número como$\pi$ o $e$puede tener elementos. Una forma podría ser ver estos números como límites de sucesiones y, por tanto, como listas de números racionales. Sin embargo, esto parece sospechoso ya que estos números son límites de secuencias múltiples, por lo que esto no me da un conjunto canónico que represente estos números, sino una familia de conjuntos. ¿Está esto bien o mi razonamiento está roto?
Entonces, lo que quiero preguntar es:
¿Cuáles son los elementos de $e$?
O, más sutilmente, ¿tiene sentido esta pregunta, o deberíamos eliminar la palabra "el" de ella?
Respuestas
¿Cuáles son los bits exactos en la cadena que es mi respuesta? Bueno, eso depende de cómo lo codifique. ¿Es un UTF-8, o tal vez UTF-16, o tal vez sea ASCII? Tal vez esté utilizando un navegador que representa cadenas como secuencias que terminan en nulos, o tal vez sea un tipo de objeto más elaborado.
El caso es que esta cadena de texto que estás leyendo ahora mismo tiene una miríada de formas, todas válidas y útiles a su manera, para convertirse en una secuencia de bits en la memoria de tu computadora.
Del mismo modo, los números reales son, como la mayoría de la gente piensa en ellos, simplemente una entidad abstracta. Como una cadena de texto. La teoría de conjuntos, y de hecho cualquier fundamento de las matemáticas, implementa estas entidades abstractas como conjuntos (o de otra manera en otros fundamentos). ¿Cuáles son los conjuntos exactos que son los números reales? Eso depende de cómo los implemente.
La llamada ruta estándar en el caso de los números reales y $\sf ZFC$ (y sus teorías de conjuntos relacionadas), sería:
- Corrija una codificación de pares ordenados, generalmente el emparejamiento de Kuratowski.
- Usar $\omega$, el ordinal menos infinito, para modelar los números naturales.
- Definir $\Bbb Z$ como el cociente de $\omega\times\omega$ en forma algebraica.
- Definir $\Bbb Q$ como el cociente de $\Bbb{Z\times Z}$ en forma algebraica.
- Definir $\Bbb R$ como una terminación de $\Bbb Q$, que en el caso de la teoría de conjuntos es algo más natural a través de cortes de Dedekind.
En ese caso, los elementos de $e$, o de hecho cualquier número real, son números racionales más pequeños que $e$. Pero, ¿qué son los números racionales? Bueno, esos son conjuntos de pares de números enteros, que a su vez son conjuntos de pares de ordinales finitos, que a su vez tienen una estructura bastante bien entendida.
Sin embargo, esa no es la única forma de codificar los números reales. Podemos elegir una forma diferente de codificar pares ordenados, o podemos usar la terminación de Cauchy usando clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales. Podemos codificar los enteros de manera diferente, o podemos decidir pasar de$\omega$ a los números racionales no negativos, y solo entonces introducir los negativos.
Hay muchas, muchas formas de codificar un número real en conjuntos. De hecho, podemos elegir cualquier tamaño$2^{\aleph_0}$, ejecute "la ruta estándar", y luego use una biyección para hacer esta codificación. En la teoría de conjuntos, los números reales a menudo se consideran como:
- Subconjuntos de $\omega$.
- Funciones de $\omega$ a $\omega$.
- Funciones de $\omega$ a $2$.
- Alguna combinación de los conjuntos anteriores.
Esto depende del contexto. Al igual que la cuestión de si la cadena que está leyendo está representada o no de una forma u otra, depende del navegador que esté usando, del sistema operativo que esté usando, etc.
Entonces, a su pregunta, ¿son los elementos de$e$? Bueno, eso depende de qué conjunto sea$e$.
Siguiendo a Dedekind , modelemos cada número real como un subconjunto propio cerrado a la baja de los racionales sin un elemento mayor. Luego$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$
Depende de cómo defina los números reales.
El método de secuencia de Cauchy para definir los reales es un poco más complicado que el enfoque de Dedekind. Un número real en esta definición es una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales.
Esto significa que un elemento es una sola secuencia de Cauchy. $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ de números racionales que converge a $e,$ o, menos cíclicamente, dado:
$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ tenemos $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ Si $x_n-e_n\to 0.$
La construcción estándar ya de $\Bbb Z$ de $\Bbb N$es diferente de su idea ad hoc (que es quizás mucho más sencilla). Usaremos mucho pares y relaciones de equivalencia en el camino. Así que recuerda que para parejas puedes usar la definición de Kuratowski.$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ Definimos como conjunto de clases de equivalencia de pares de números naturales, $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ dónde $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ Y nos inyectamos $\Bbb N\to \Bbb Z$ vía $n\mapsto \overline{(n,0)}$. Con este,$0\in\Bbb Z$ es el set $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ y ya mucho más complejo que el $0=\emptyset\in\Bbb N$ que teníamos antes.
A continuación, normalmente definiríamos $\Bbb Q$ como clases de equivalencia de pares de enteros, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ donde esta vez $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ Y nos inyectamos $\Bbb Z\to \Bbb Q$ vía $k\mapsto \overline{(k,1)}$.
Son posibles varias formas de llegar a lo real. Sugeriría recortes de Dedekind, pero aparte del trabajo original de Dedekind (pares de conjuntos de racionales), sugeriría usar solo conjuntos únicos de racionales (con propiedades específicas)$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$
Con esto, los elementos de $\pi$ son simplemente todos números racionales $<\pi$ (por ejemplo $3$ o $\frac{22}7$ o $-42$). En particular$0$ es tal elemento, pero no es $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, ni el $0_{\Bbb Z}$ descrito en $(1)$ arriba, pero la clase de equivalencia de fracciones $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.