Mapa natural del espectro adic

Question

Estoy luchando por entender la siguiente proposición con respecto al espectro ádico correspondiente a una curva normal sobre un campo $k$:

Proposición: Let$C$ ser una curva normal sobre un campo $k$ y $K:=\operatorname{Frac}(A)$ por un arbitrario $\operatorname{Spec}A\subseteq C$ denotar el campo de función de $C$. Hay un mapa natural$\nu:C\to \operatorname{Spa}(K,k)$, donde este último es el conjunto de todos los anillos de valoración $V$ con $k\subseteq V\subseteq K$ y $\operatorname{Frac}(V)=K$, definido por $x\mapsto \mathcal{O}_{C,x}$.

Puedo ver eso $k\subseteq K$ ya que $C$ es de tipo finito sobre $k$ y tambien se que $C$ siendo una curva normal sobre $k$ implica que $\mathcal{O}_{C,x}$ es un anillo de valoración discreto para cada $x\in C$ no es un punto genérico.

Sin embargo, no entiendo las siguientes cosas:

1. Por que $k\subseteq \mathcal{O}_{C,x}\subseteq K$ ¿sostener?
2. Por que es $\operatorname{Frac}(A)=\mathcal{O}_{C,\eta}\,,\,$ con $\eta$ siendo el punto genérico de $C$? (Supongo que esto está relacionado con la primera pregunta)

Muchas gracias por adelantado.

Answer 1

Si quieres buscar más en Google, el espectro adic $\mathrm{Spa}(K,k)$ se conoce más clásicamente como el espacio Riemann-Zariski $\mathrm{RZ}(K,k)$.

Sus otras preguntas entonces no tienen nada que ver con los espacios ádicos, ni siquiera con los espacios de Riemann - Zariski, o incluso con las curvas - solo pertenecen al estudio de esquemas integrales.

Entonces, asuma que $X$ es un esquema integral (= irreducible + reducido) sobre un anillo $R$. Tenga en cuenta entonces para cada$x$ en $X$ uno tiene, por definición, que

$$\mathcal{O}_{X,x}=\varinjlim\mathcal{O}(U)$$

dónde $U$ recorre los barrios abiertos $U$ de $x$. Sin embargo, tenga en cuenta que para cada$U$ la composición

$$U\to X\to \mathrm{Spec}(R)$$

en particular da lugar a un mapa de anillo

$$R\to \mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}(U)$$

que da a cada uno $\mathcal{O}(U)$ la estructura de un $R$-álgebra. Claramente, por construcción, los mapas de transición

$$\mathcal{O}(V)\to \mathcal{O}(U)$$

para $V\subseteq U$ barrios abiertos de $x$ son mapas de $R$-algebars y así vemos, pasando al colimit, que $\mathcal{O}_{X,x}$ es un $R$-álgebra. Además, para cualquier$U$ tenemos una factorización

$$R\to \mathcal{O}(U)\to \mathcal{O}_{X,x}$$

para que los mapas $\mathcal{O}(U)\to\mathcal{O}_{X,x}$ son mapas de $R$-álgebras.

Observemos además que si $y$ es un punto generalizando $x$ luego el mapa natural

$$\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,y}$$

proviene del hecho de que los barrios que contienen $x$ todos contienen $y$ y así, en particular, este mapa es claramente también un mapa de $R$-álgebras.

Finalmente, observamos que si $X=\mathrm{Spec}(A)$, entonces $A$ es un dominio integral y si $\eta$ denota el punto genérico de $X$ luego el mapa natural

$$A=\mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}_{X,\eta}$$

induce un isomorfismo

$$\mathrm{Frac}(A)\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}_{X,\eta}$$

La razón es simple. Es decir, dado que cada subconjunto abierto de$X$ contiene $\eta$ tenemos, por definición, que

$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)$$

dónde $U$ viaja sobre todos los subconjuntos abiertos de $X$. Pero, basta con tomar este límite sobre un sistema cofinal de aperturas que puede tomarse como la apertura básica.$D(f)$ para $f\in A$. Pero,$\mathcal{O}(D(f))=A_f$, la localización de $A$ a $f$y los mapas de transición

$$\mathcal{O}(D(f))\to\mathcal{O}(D(g))$$

para $D(g)\subseteq D(f)$ son las inclusiones $A_f\hookrightarrow A_g$ (tenga en cuenta que $D(g)\subseteq D(f)$ significa que $V(g)\supseteq V(f)$ Lo que significa que $\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(g)}$ Lo que significa que $f=g^n a$ para algunos $a\in A$, de donde está claro que si hemos invertido $g$ hemos invertido $f$ y así hay una inclusión $A_g\hookrightarrow A_f$). Pero entonces queda claro que

$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)=\varinjlim_{D(f)}\mathcal{O}(D(f))=\varinjlim_f A_f=\mathrm{Frac}(A)$$

como se desee.

Entonces, si tomamos $A=k$ entonces la discusión anterior muestra que tenemos una secuencia de mapas

$$k\to \mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,\eta}\cong \mathrm{Frac}(A)$$