Mi última contraseña

Question

-¿Cuál es tu contraseña? - me pregunta mi sobrina.

-Es un número de cuatro dígitos.

-Yo sé eso.

-Es divisible precisamente por tres números primos.

-Dime más.

-Tiene al menos un divisor común mayor que 1 con precisamente ocho de los otros 23 números de 4 dígitos que se pueden formar con esos mismos dígitos.

-Más.

-Estaba vivo en ese año en particular.

Unas pocas horas después:

-¡Ahora sé!

Cual es mi contraseña

Answer 1

EDITAR: con información adicional proporcionada por el OP, ahora podríamos decir que la respuesta es

1976

y esto también estropea un límite inferior de la edad del OP, asumiendo que no está mintiendo (:

Respuesta original:

---

No sé lo que me estoy perdiendo, pero esto es lo que tengo.

Aclaraciones:

• Supongo que "los otros 23 números de 4 dígitos" implican que el número consta de cuatro dígitos distintos de cero.
• Supongo que "al menos un divisor común" significa "un divisor común mayor que $1$".

Con estas suposiciones, obtuve:

$1435 = 5 \times 7 \times 41$
$1495 = 5 \times 13 \times 23$
$1976 = 2^3 \times 13 \times 19$
$2135 = 5 \times 7 \times 61$
$2431 = 11 \times 13 \times 17$
$3145 = 5 \times 17 \times 37$
$3196 = 2^2 \times 17 \times 47$
$3289 = 11 \times 13 \times 23$
$3514 = 2 \times 7 \times 251$
$3598 = 2 \times 7 \times 257$
$4697 = 7 \times 11 \times 61$
$5423 = 11 \times 17 \times 29$
$6149 = 11 \times 13 \times 43$
$6391 = 7 \times 11 \times 83$
$6475 = 5^2 \times 7 \times 37$
$6479 = 11 \times 19 \times 31$
$6935 = 5 \times 19 \times 73$
$7385 = 5 \times 7 \times 211$
$7469 = 7 \times 11 \times 97$
$7843 = 11 \times 23 \times 31$
$7931 = 7 \times 11 \times 103$
$8435 = 5 \times 7 \times 241$
$9361 = 11 \times 23 \times 37$
$9581 = 11 \times 13 \times 67$
$9823 = 11 \times 19 \times 47$
$9835 = 5 \times 7 \times 281$

Y no veo ninguna información proveniente de las oraciones de la sobrina (es decir, "Lo sé" y "Cuéntame más" no dan información adicional aquí, por lo que puedo decir).

Por lo tanto, estoy confundido en este punto.

Algunos análisis aquí:

Existen $1104$números con cuatro dígitos distintos de cero que tienen tres divisores primos.
Entre ellos, encontramos los anteriores$26$ soluciones, que se trata de $1/42$ de todos los $1104$candidatos.

Esto es aún más bajo que una estimación ingenua de$1 / 24$ (suponiendo que el número de permutaciones con divisores comunes se distribuye uniformemente en $\{0,1,\dots, 23\}$).

Por lo tanto, es bastante razonable esperar una situación en la que tengamos muchas soluciones. Es decir, si esto es solo un acertijo matemático ...