Modelado de probabilidad condicional

Question

Problema:

Se nos dan tres monedas: una tiene cara en ambas caras, la segunda tiene cruz en ambas caras y la tercera tiene una cara en una cara y una cola en la otra. Elegimos una moneda al azar, la lanzamos y el resultado es cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara opuesta sea cruz?

Solución:

Si $p = P(\text{Two headed coin was chosen | Heads came up}) = \displaystyle{\frac{\frac 13}{\frac 12} = \frac 23}$, entonces la probabilidad de que la cara opuesta sea cruz es $1 − p = \displaystyle{\frac 13}$.

Nuevo en probabilidad, me gustaría ver cómo funciona esta solución con más detalle.

Mis preguntas:

1.El espacio muestral es $\{HH, HT, TT\}$. La condición de que aparecieron cabezas se refiere a los elementos$\{HH, HT\}$ y el hecho de que se eligiera una moneda de dos cabezas se refiere a $\{HH\}$. Queremos la probabilidad de$\{HH, HT\} \cap \{HH\} = \{HH\}$. La probabilidad de elegir$HH$ es $\displaystyle{\frac 13}$por Ley de Probabilidad Uniforme. ¿Es esto correcto?

2. Cuando calculamos eso $P(\text{Heads came up}) = \displaystyle{\frac 12}$, ¿cuál es el espacio muestral? Lo es$\{H, T\}$ o $\{HH, HT, TT\}$? Gracias.

editar :

Creo que finalmente entiendo cómo modelar el espacio muestral aquí.

El lanzamiento de monedas es un experimento secuencial, por lo que el orden es importante. Por ejemplo,$HT$ es diferente de $TH$.

Nuestro espacio muestral es $\{H_1H_2, H_2H_1, T_1T_2, T_2T_1, TH, HT\}$.

Así

$P(\text{two headed coin was selected $\gorra$ heads came up(in the first toss)}) = P(\{H_1H_2, H_2H_1\}) = \frac 26 = \frac 13$

por la ley de probabilidad uniforme.

$P(\text{heads came up(in the first toss)}) = P(\{H_1H_2, H_2H_1, HT\}) = \frac 36 = \frac 12$ por la ley de probabilidad uniforme.

Answer 1

Para su pregunta 1, puede aplicar el teorema de Bayes al señalar que el evento que está buscando es el mismo que haber elegido la moneda con una cara H y una T, dado que lanzó una H:

$$P(\text{coin is HT}|\text{toss H}) = \frac{P(\text{toss H} | \text{coin is HT}) \, P(\text{coin is HT})}{P(\text{toss H})}$$ y conectando los valores apropiados.

Para su pregunta 2 (es decir, el denominador de arriba) puede usar la Ley de Probabilidad Total (LOTP) para dividir el espacio muestral:

$$P(\text{toss H}) = P(\text{toss H} | \text{coin is HH})P(\text{coin is HH}) + P(\text{toss H} | \text{coin is HT})P(\text{coin is HT}) + P(\text{toss H} | \text{coin is TT})P(\text{coin is TT})$$

y evaluar las probabilidades.