Norma bien definida en espacio cociente

Question

Necesito demostrar que la norma en el espacio del cociente está bien definida.

Dejar $X$ un espacio de Banach y considere $M \subseteq X$un subespacio cerrado. Considere en$x$ la relación de equivalencia $x \equiv y \iff x-y \in M$, y deja $X/M$el cociente establecido. La clase de equivalencia de$x$ es el set $[x]=x+M = \{ x+z | z \in M \}$.

En $X/M$ considera la función $\|\, \|:X/M\to [0, \infty[$ por eso la expresión $\|[x]\|=\|x+M\| = \inf \{ \|x-z\| \mid z \in M\}$ define una norma en $X/M$.

a) mostré que $\|[x]\| = \inf \{ \|x-z\| \mid z \in M\}$ define una norma en $X/M$.

b) Necesito demostrar que la norma está bien definida. No estoy seguro de qué mostrar.

¿Es esto? " Si$[x], [y]\in X/M$ y $[x]=[y]$ luego $\| [x]\|=\| [y]\|$"?

Si lo que tengo que demostrar es correcto, mostré esto:

Dejar $x,y\in X$ así que eso $[x]=[y]$. Si$[x]=[y]$ luego $x+M=y+M$ o $y-x+M=0+M$. Ahora,

$$ \begin{align*} \| [x]\| &=\| x+M\| \\ &=\| x+0+M\|\\ &=\| (x+M)+(0+M)\|\\ &=\| (x+M)+(y-x+M)\| \\ &=\| x+y-x+M\|\\ &= \| y+M\|\\ &= \|[y]\| \end{align*} $$

¿Es correcto? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sí, todo eso es correcto, pero parece que lo has usado implícitamente $\|[x]\|$ igual a $\inf\{\|z\|:z\in x+M\}$.
Entonces la afirmación Indeed sigue como$[x]=[y]$ medio $x+M=y+M$.