Precios sin arbitraje

Question

Tenemos un contrato cuyo valor es $A(S_t,t) = S_t^3$ en todo momento, no solo al vencimiento. $S_t$, la acción subyacente, sigue un movimiento browniano geométrico, $\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dB$. ¿Cómo demostraríamos que esto es incompatible con los precios sin arbitraje?

Pensé que una posible solución podría ser mostrar que no es una Martingala bajo la medida Q. Básicamente, comenzamos asumiendo que$A(S_t, t)$ es una martingala, lo que implica que$e^{-rt}E^Q[A_t] = A_0 = S_0^3$. Pero, bajo la medida neutral al riesgo, sabemos que$S_t = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma \sqrt{t} Z^Q}$ dónde $Z$es estándar normal. Resulta que$A(S_t, t) = S_t^3 = S_0^3e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$. Calculando la expectativa$e^{-rt}E^Q[S_t^3] = S_0^3 e^{-rt}\int_{z^*}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$ obtenemos $S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t}$. Porque$S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} \neq S_0^3$ concluimos que $A(S_t, t)$ no es una martingala, por lo que el hecho de que el contrato tenga valor $S_t^3$ en todo momento es incompatible con los precios sin abitrage.

Algo como esto funcionaría? Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Bajo la medida neutral al riesgo por aplicación de Ito: $$ dS^3_t = 3 \left[ (r + \sigma^2)S^3_t dt + \sigma S^3_t dW_t \right] $$ La deriva neutral al riesgo no es la tasa libre de riesgo y, por lo tanto, $S_t^3 \; \forall t$ no puede ser el precio de una reclamación o cualquier otro activo negociable.

Básicamente, en la misma línea que la prueba, pero sin calcular las expectativas, etc. Solo necesito mirar la deriva local.