Presentación grupal, subgrupo central

Question

En una prueba de lo que estoy leyendo hay la siguiente declaración. Para un grupo$G$ con presentación $$ G= \langle \gamma_1 ,\gamma _2,\gamma _3 ,c \mid \gamma _1^pc^{-1} =\gamma_2^qc^{-1}= \gamma _3^r c^{-1}=\gamma_1\gamma _2\gamma _3 c^{-1} =1 \rangle $$ el elemento $c$ genera un subgrupo central $C$, con cociente $G/C$ isomorpic al grupo $$ \langle \gamma_1 ,\gamma _2,\gamma _3 \mid \gamma _1^p =\gamma_2^q= \gamma _3^r =\gamma_1\gamma _2\gamma _3 =1 \rangle . $$ ¿Puede alguien darme una pista de por qué eso es cierto?

Answer 1

He aquí un hecho general: $G=\langle S\rangle$. Entonces$g\in Z(G)$ si y solo si $gx=xg$ para todos $x\in S$.

Es decir, un elemento está contenido en el centro de un grupo. $G$ si y solo si el elemento conmuta con cada elemento de un grupo electrógeno para $G$.

En tu configuración, $G=\langle\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\rangle$, mientras que el elemento $c$ es una potencia de cada generador $\gamma_i$, y así conmuta con cada $\gamma_i$, por lo que es central por el hecho anterior. Por ejemplo,$\gamma_1c=\gamma_1\gamma_1^p=\gamma_1^p\gamma_1=c\gamma_1$.

Por lo tanto, $G/\langle c\rangle$ tiene sentido y obtenemos la presentación agregando el relator $c=1$para obtener: \ begin {align *} & \ langle \ gamma_1, \ gamma _2, \ gamma _3, c \ mid \ gamma _1 ^ pc ^ {- 1} = \ gamma_2 ^ qc ^ {- 1} = \ gamma _3 ^ rc ^ {- 1} = \ gamma_1 \ gamma _2 \ gamma _3 c ^ {- 1} = 1, c = 1 \ rangle \\ & \ cong \ langle \ gamma_1, \ gamma _2, \ gamma _3, c \ mid \ gamma _1 ^ p = \ gamma_2 ^ q = \ gamma _3 ^ r = \ gamma_1 \ gamma _2 \ gamma _3 = 1, c = 1 \ rangle & \ text {simplemente usando$c=1$} \\ & \ cong \ langle \ gamma_1, \ gamma _2, \ gamma _3 \ mid \ gamma _1 ^ p = \ gamma_2 ^ q = \ gamma _3 ^ r = \ gamma_1 \ gamma _2 \ gamma _3 = 1 \ rangle \ end {align *} según sea necesario. (En el último paso retiramos el generador$c$ a través de una transformación de Tietze).