Probar: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

Actualmente estaba pasando por la fórmula

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

que es, por supuesto, la forma adjunta del principio de incertidumbre de Heisenberg . Pero también obtengo esta fórmula

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Supongo que esta es una extensión del principio de Heisenberg, pero no obtuve tal nota en el libro. Además, creo que tal vez provino de la hipótesis de De Broglie y puede ser algo de cálculo, pero es solo una suposición. Entonces, por estas razones, deseo una respuesta suya y, además, será mejor tener alguna interpretación física de esta fórmula como la que tenemos para el principio de Heisenberg .

Answer 1

Partiendo del principio de incertidumbre general para dos operadores arbitrarios$\Omega$ y $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ dónde $|\psi\rangle$ es un estado arbitrario y $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, el conmutador. Sabemos por De Broglie que$\lambda=\frac{h}{p}$; a partir de esto, calculamos el soporte de posición de$x$ y $\lambda$ como $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Ahora, la regla popular de Dirac para la cuantificación (funciona en muchos casos) es decir que $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ entonces tenemos $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Conectando esto al principio de incertidumbre general original,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ y por lo tanto $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Ahora, a partir de la definición de desviación estándar, sabemos que $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, entonces tenemos $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$porque la desviación estándar es positiva definida. Por lo tanto, denotando el valor esperado de$\Lambda$ como $\lambda$, finalmente tenemos $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Este principio de incertidumbre es diferente al de la posición-momento normal; en lugar de que el producto de las incertidumbres sea siempre mayor que una constante, el producto de la desviación estándar de la posición y la longitud de onda es mayor o igual que el valor medio de la longitud de onda dividido por$4\pi$. Por lo tanto, relaciona las incertidumbres en la posición y la longitud de onda con el valor medio de la longitud de onda.