Propiedades básicas de los objetos terminales

Question

Estoy estudiando el capítulo 0 de Aluffi y creo que me vendrían bien algunas ideas básicas sobre los objetos terminales.

Cualquier morfismo de un objeto terminal a sí mismo es la identidad . Para probar esto, solo observamos que solo puede haber un morfismo de un objeto inicial$A$a cualquier otro objeto, y debe tener el mapa de identidad para sí mismo. Así que si$\| \text{Hom}(A,B) \| = 1$ para cualquier objeto $B$. En particular,$\text{Hom}(A,A)$, debe contener $\text{id}_A$, Así que si $\phi \in \text{Hom}(A,A)$, luego $\phi$ debe ser la identidad.

Para los objetos finales, la prueba sería similar. En la práctica, si pudiera obtener una composición de funciones de un objeto inicial a sí mismo, podría decir que la función es la identidad, por lo tanto, un isomorfismo, etc.

Si un objeto es isomorfo a un objeto final / inicial, él mismo es final / inicial. Para probar esto, suponga$A$ es inicial, $\phi: A \rightarrow B$ es un isomorfismo, y $C$es otro objeto de nuestra categoría. Un morfismo$A \rightarrow C$ siempre existe, por lo que la composición $B \rightarrow A \rightarrow C$ donde está la primera flecha $\phi^{-1}$ y la segunda flecha es el morfismo dado por $A$siendo inicial, siempre existe. Si$f$hubo algún otro morfismo$f:B \rightarrow C$, luego la composición $A \rightarrow B \rightarrow C$ es un morfismo de $A \rightarrow C$ por lo que debe ser único.

En la práctica, usaría esto para concluir que un objeto es inicial / terminal si pudiera encontrar un isomorfismo con otro objeto inicial / final.

Esto es solo un boceto, pero ¿es exacto? Editado para mayor claridad y detalles de relleno.

Answer 1

Supongo que el libro usa "objeto terminal" para denotar un objeto "inicial" o "final".

Como de costumbre, no es necesario hacer ambas pruebas para los objetos inicial y final, porque un objeto inicial en $\mathcal{C}$ es un objeto final en $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ y por el contrario.

Tu prueba es correcta, pero demasiado larga. Dejar$A$ ser un objeto inicial y dejar $f\colon A\to A$ser un morfismo. Ya que$\mathrm{id}_A$ es un morfismo con la misma fuente, a saber $A$y objetivo, tenemos eso $f=\mathrm{id}_A$, por singularidad.

Supongamos ahora que $B$ es isomorfo a un objeto inicial $A$; dejar$b\colon A\to B$ser un isomorfismo. Toma cualquier objeto$C$ y dos morfismos $f,g\colon B\to C$. Luego$fb,gb\colon A\to C$son dos morfismos, por lo que son iguales. Desde$fb=gb$ obtenemos $f=g$ componiendo con $b^{-1}$. Esto prueba la singularidad. La existencia se sigue del morfismo único$h\colon A\to C$, entonces tenemos $hb^{-1}\colon B\to C$.