Prueba de que esta simetría existe
El ejemplo 3.8 de Griffiths dice
Una esfera de metal sin carga de radio $R$ se coloca en un campo eléctrico uniforme $\mathbf{E}=E_{0} \hat{\mathbf{z}} .$El campo empujará la carga positiva a la superficie "norte" de la esfera y, simétricamente, la carga negativa a la superficie "sur" ...
¿Cuál es la prueba de que tenemos una distribución simétrica de carga?
Respuestas
La única diferencia entre cargas positivas y negativas es el signo de la fuerza que experimentan en un campo externo. El campo externo está a lo largo$\mathbf{\hat{z}}$, por lo que las cargas positivas serán empujadas "hacia arriba", y exactamente lo mismo ocurrirá con las cargas negativas, excepto en la dirección opuesta.
Olvídese de la esfera por un momento, y considere un dipolo simple y convénzase de que las cargas positivas y negativas se comportarán "simétricamente" en un campo externo constante. Ahora imagina que tu esfera "descargada" está compuesta enteramente por tales "dipolos".
Imagina que, antes de considerar la carga que está en la esfera, giras el universo en la dirección z. Esto deja la esfera igual pero invierte el campo eléctrico porque depende de$ \mathbf{\hat z}$. Ahora invierta todas las cargas positivas con todas las cargas negativas (esto se llama conjugación de carga). Esto nuevamente invierte el campo eléctrico. Ahora estamos exactamente donde empezamos. La conjugación de transformación flip + charge te da las mismas condiciones iniciales, por lo que debería darte la misma densidad de carga final. Esto significa que cualquier densidad de carga que obtenga debe permanecer igual después de realizar la conjugación flip + charge, que es lo mismo que decir que la distribución de carga es simétrica.
Para empezar, el campo eléctrico se define como el gradiente negativo del potencial, el campo eléctrico en cualquier punto $(x, y, z)$ es $$ \begin{array}{c} E_{1}=E_{0} \hat{\mathbf{x}}+E_{0} \frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \frac{R^{3}}{r^{5}}\left[\left(2 x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \hat{\mathbf{x}}+(3 x y) \hat{\mathbf{y}}+(3 x z) \hat{\mathbf{z}}\right](r>R) \\ E_{2}=E_{0} \frac{3 \sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \hat{\mathbf{x}}(r<R) \end{array} $$
Según la ley de Gauss para campos eléctricos, la carga eléctrica acumulada en la superficie de la esfera se puede cuantificar mediante $$ \begin{array}{c} \int_{V} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \mathrm{d} V=\int_{V} \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \mathrm{d} V=Q \end{array} $$y \ begin {ecuación} \ mathbf {e} = - \ nabla V \ end {ecuación} Según el teorema de Gauss, la densidad de carga superficial en la interfaz viene dada por
$$ \mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{n}-\mathbf{e}_{2} \cdot \mathbf{n}=\frac{\rho_{s}}{\varepsilon_{0}} $$ Entonces, las cantidades de carga acumuladas en la superficie son $$ \oint_{S} \rho_{s} \mathrm{d} a=\varepsilon_{0} \oint_{S}\left(\mathbf{e}_{1 n}-\mathbf{e}_{2 n}\right)=\varepsilon_{0} \oint_{S} 3 \mathbf{E}_{0} R^{2} \frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{\sigma_{1}+2 \sigma_{0}} \cos \theta \sin \theta \mathrm{d} \phi \mathrm{d} \theta $$
Después de un doloroso cálculo, se obtiene una distribución simétrica.